物理系統中隨機效應：混沌和隨機共振

顏士敏+曹振興

【摘 要】針對現代統計物理中兩種非線性動力學行為，即混沌和隨機共振，本文利用數值解法進行了模擬和解釋。混沌是確定性系統中內稟隨機性的一種體現，深化了人們對必然和偶然的認識，而隨機共振是隨機系統的內在有序性體現，改變了人們對于噪聲的觀念，證實了噪聲對于系統序的建立具有建設性作用。這些結果對于學生通過物理計算更好地理解物理系統特性具有參考意義。

【關鍵詞】混沌；隨機共振；確定性系統；隨機系統

【Abstract】Aiming to comprehend the nonlinear behaviors in modern physics， this paper utilizes the numerical method to illustrate the chaos effect and the stochastic resonance phenomenon. Chaos demonstrates the internal randomness of deterministic systems， which develops our view on occasionality and inevitability. While， stochastic resonance is the cooperative effect in the random systems， and the benefits of noise in certain nonlinear systems are adequately appreciated. These results are interesting for students to understand certain physical systems clearly via the physical calculations.

【Key words】Chaos； Stochastic resonance； Deterministic system； Random system

在混沌動力系統學建立之前，物理學家認為微分方程的確定性解可以描述自然現象，只要收集到初始數據，那么系統未來狀態是完全可以預測的[1-2]。基于統計原理的量子力學首先打破了上述確定論觀念，而混沌概念和漲落唯象理論的提出，使得人們意識到確定性系統也可以出現隨機性結果[1-3]。經過近50年的發展，物理系統中內稟隨機性和非平衡態隨機效應已經成為現代統計物理理論的前沿研究問題[1-3]。 本文利用計算機模擬物理系統中混沌和隨機共振兩類隨機效應，前者是物理系統內稟隨機性引起的，其本質是物理系統對于初始條件的敏感性，而后者是微觀漲落運動對于物理系統宏觀變量演化的一種作用機制。我們通過微分方程的數值解法形象地解釋了上述兩種隨機效應，達到學生通過物理計算更好地理解物理系統動力學性質的目的。

1 物理系統內稟隨機性：混沌

20世紀50年代，美國麻省理工大學氣象學家洛倫茲研究大氣流體流動模型，從而解釋物理參數變化對天氣預報結果的影響。由于時代的限制，當時的單行打印機打印速度非常慢，每10秒鐘才能打印一行。為了加快計算，洛倫茲只打印了部分數據，雖然計算機計算到小數點后六位，而洛倫茲打印結果只精確到三位數，他認為舍去的數字并不會影響系統解的精度，將經過舍位之后的計算機計算結果作為初始值中途輸入計算機繼續計算。按照確定論觀點，這樣得到的計算結果應該和計算機原來運行結果應該是一致的。然而，洛倫茲發現新一輪的計算機計算結果很快從初始值處發生擴散。經過深入研究，洛倫茲認為問題的根源在于系統對于初始條件的敏感依賴性，即使初始值的微小變化，經過系統之后，系統解軌跡出現巨大差別，這一現象非常好地解釋了天氣預報的復雜性[1-3]：初始條件的任何誤差被系統迅速放大，以至于具有實際價值的可預測性大大降低。這類系統的內稟隨機性被稱為混沌現象[1-3]，它比純粹的可預測性更加符合我們的日常經驗，比如中長期的天氣預報準確率是非常低的，因為天氣初始條件微小變化使得幾周之后天氣情況在本質上是無法預測的[1-3]。

變量x（t）和y（t）與大氣溫度的豎直和水平變化相關，而變量z（t）與大氣對流有關，σ是普蘭特數，γ是規范化瑞利數，而常數b和研究區域的幾何形狀相關[1-3]。該確定性系統只有線性項和二次項，沒有外部隨機性輸入，然而此系統有著復雜的類隨機動力學行為。比如取參數σ=10，γ=28，b=8/3，其軌跡完全由上述參數和初始條件（x0，y0，z0）確定，但是其特性很難預測。方程（1）的數值解法采用4階龍格-庫塔法，如圖1所示，初始條件為（1.01，1.0，1.0），洛倫茲系統三維相圖表明其軌跡在三維相空間中是有界的，但是無周期性且不相交，混亂地來往于兩個吸引子之間。這是因為整體上系統能量是耗散的，其軌跡趨向一個零體積集合，而兩個吸引子是不穩定的，導致其軌跡的不斷褶疊、翻轉和延伸，因此出現了總體的混沌現象。這類系統的內稟隨機性表現在初始值的敏感性：即使初始值的微小變化經過系統放大之后，隨著時間的變化二者的軌跡出現完全不相干的性質。比如將初始條件（1.01，1.0，1.0）改為（1.011，1.0，1.0），如圖2所示，在兩種初始條件下變量x（t）隨時間演化，盡管其誤差僅有1‰，但是二者軌跡在21秒處發生改變，實線和虛線分別代表上述兩類不同初始條件下的狀態變量演化，隨著時間繼續增加，x（t）狀態發生很大改變且沒有相關性，其他變量y（t）與z（t）也類似，這也是混沌系統長時間行為不可預測的本質。

2 隨機系統的內在有序性：隨機共振

隨機共振概念最早是由邦濟[4-5]在研究太陽對于地球的隨機作用力是如何引起冰川期和暖期的周期性變化時提出的。地球的冰川期大約105年，這個周期和地球由于星系間的引力引起的軌道偏心率一致，但是偏心率不足以使得地球氣候發生如此大的變化。邦濟發現由于地球每年氣候漲落（如太陽的輻射）而引起的氣候變化和偏心率能夠達到了一種“共振”，從而使得地球的冰川期和暖期發生周期性變化，此現象稱為隨機共振現象。隨機共振現象第一次證實了隨機漲落對于宏觀變量（如地球氣候）影響能夠起到決定性作用[4-5]。

經典隨機共振模型為質量是m粒子在雙穩態勢阱內運動過程，其隨機微分動力學方程滿足[4-5]：

當阻尼系數λ>>m，稱為過阻尼系統，不失一般性地設λ=1，式（2）可簡化為一階隨機微分方程：

這里信號為s（t），白噪聲ξ（t）的強度為D，數值解法采用Euler-Maruyama隨機微分解法[4-5]。雙穩態對稱勢函數V（x）=-x2/2+x4/4，具有兩個穩態xm=±1和能量勢壘ΔV=1/4，當信號s（t）存在時，此勢函數成為被s（t）調制為V（x，t）=-x2/2+x4/4-s（t）x。設弱信號s（t）=Acos（Ωt）的幅值A<和頻率Ω<<1，勢函數V（x，t）的變化如圖3所示，對應幅值從零變化為+A，然后又從零變化為-A的過程。在沒有噪聲的幫助下，此信號不能夠使得粒子越過勢壘達到另外一個穩態，也就是說粒子是不能進行阱間躍遷的。然而，隨著噪聲ξ（t）的加入，粒子能夠從相對淺的勢阱進入相對深的勢阱里去，當噪聲強度達到一個最優值時（如圖4中噪聲強度為D=0.09），此時系統響應如信噪比、響應幅值等達到最大值，我們可以看出此時系統輸出x（t）能夠從統計意義上反映了信號幅值正負的周期變化。故借鑒力學中“共振”一詞，稱這種現象為隨機共振。隨機共振現象表明，在非線性系統中，外部噪聲環境有時不是系統性能的阻礙，反而是一種積極的促進，能夠使得系統特性和輸入微弱信號達到協同，成為建設系統序的重要因素，這也是非線性系統內在隨機性向有序性轉化的有力例證。

3 總結

上述兩種隨機效應給現代物理帶來了巨大沖擊：一是，混沌打破了物理學以往可預言的確定論觀點，它讓人們理解了某些物理系統長時間預測是無意義的，系統內部的隨機性深化了人們對必然和偶然的認識，更全面地理解自然界的統一性；二是，隨機共振打破了噪聲是有害的觀念，在某些非線性系統中噪聲能出人意料地產生積極影響，對于系統的演化反而起到決定性作用，對于系統序的建立是有益的，使得人們更加重視微觀尺度的運動對于宏觀量演化的影響，而不能簡單地依據尺度和強度大小而忽略它。簡言之，混沌表現了確定性系統的內稟隨機性，而隨機共振表現了隨機系統的內在有序性，本文通過這兩類物理現象計算，使得我們能夠達到更好地理解物理系統的兩類隨機效應。

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[責任編輯：湯靜]