調和函數的廣義狄利克雷問題

王亞敏

【摘 要】本文對廣義狄利克雷問題進行了研究，通過減弱拉普拉斯方程的解存在性的條件，借助調和函數的基本理論，討論了廣義狄利克雷問題的解存在性及唯一性的不同情形。最后說明了狄利克雷問題與共形映射的等價性。

【關鍵詞】調和函數；廣義狄利克雷問題；邊界函數；共形映射

【Abstract】The passage mainly studies the generalized Dirichlet problem， by weaking weakened the presence condition of the Laplace equation. With the basic theory of harmonic functions， the existence and uniqueness of solutions among different situations for generalized Dirichlet problem is discussed. Finally， it shows the equivalence between the Dirichlet problem conformal mapping.

【Key words】Harmonic functions； Generalized Dirichlet problem； Boundary functions； Conformal mapping

4 結束語

通過減弱拉普拉斯方程的解存在性的條件，把所求解歸結為廣義狄利克雷問題。對于單連通區域D，廣義狄利克雷問題又可以轉化為普通狄利克雷問題，從而化特殊為一般。借助調和函數的基本理論，討論了廣義狄利克雷問題的解存在性及唯一性的不同情形。并且說明了狄利克雷問題與共形映射的等價性. 所得結論是解析函數與調和函數的相應理論在施瓦茨積分中的繼續和應用.

【參考文獻】

[1]聞國椿.共形映射與邊值問題[M].北京：高等教育出版社，1985：146-151.

[2]張建元.K-共形映射[J].西南大學學報：自然科學版，2010，32（10）：119-125.

[3]張建元，張榮珠.混和型解析函數的施瓦茲邊值問題[J].昆明理工大學學報：自然科學版，2001，26（6）：145-150.

[責任編輯：楊玉潔]