面向專業需求的高職數學在機電專業的案例研究

牛立尚+徐虹+孫媛鳳

【摘 要】當前的高職數學教材主要有兩個弊端：一是，不同專業講授同樣的知識；二是，內容理論太多，而與專業相關的案例幾乎沒有。本文針對機電類專業，分析了專業背景所需要的數學知識，并對每個章節的知識挖掘它在專業領域的應用，給出了詳實的案例。

【關鍵詞】專業需求；高職數學；機電；案例

高職數學是為專業服務的一門基礎課、工具課，教育部在《關于加強高職高專教育人才培養工作的意見》文件中明確指出，基礎理論課教學要以應用為目的，以必須夠用為尺度，以講清概念，強化應用為教學重點。所以高職數學應該對不同專業的學生有不同的要求，不同專業的學生學習不同的知識和案例。但是縱觀現在的高職數學教材，真正與專業相結合的案例教材很少，本文針對機電類專業，逐一分析每個章節理論知識所對應的專業案例，使我們的教材真正面向專業需求。

機電化工類專業的數學知識大概可以分為幾個內容，極限與連續，導數與微分及其應用，不定積分與定積分及應用，微分方程，線性代數初步，拉普拉斯變換。前邊三個內容可作為基礎模塊在第一學期開設，后邊三個內容作為專業模塊在第二學期開設。下邊我們依次對每個內容分析它的專業應用，通過案例來介紹知識在機電領域的應用，使數學知識能夠更好的與專業課程銜接。

1）極限與連續，本章內容主要要求理解極限、連續、間斷的概念，掌握一元函數極限的運算法則，熟練應用兩種重要極限求解極限問題，能夠應用極限運算法則求初等函數的極限，熟悉閉區間上連續函數的性質。

對于本章的應用案例，我們可以引入一些機電相關的函數模型，如金屬軸做加熱膨脹實驗時，依據軸伸長長度與加熱溫度的數據，建立該金屬軸加熱膨脹的函數模型。再如油泵的曲柄連桿結構中涉及的三角函數模型，汽車緊急剎車后滑行的距離與剎車時的速度之間的函數關系等等。極限方面的應用我們引入分形幾何中的Koch雪花的周長和面積的問題，koch雪花通過遞歸的方法生成，最初由一個單位邊長的正三角形為起點，然后將每條邊三等分，以中間三分之一段為邊向外做正三角形，依次進行下去得到koch雪花，那么無數次之后這個圖形的周長和面積極限是多少。機電相關專業會經常涉及一些圖形結構分析，這個案例能幫助學生對圖形進行數量計算。

2）導數與微分及其應用，本章內容要求理解導數和微分的概念，掌握一元函數的導數和微分的計算公式，能運用求導法則和公式求函數的導數與微分。

這部分內容在機電領域的應用包括：

（1）電池的最佳組合問題。有n個電動勢為E的電池，每個內阻為r，將它們以下述方式與已知的外電阻R連接：分成s個并聯分支，m是每個分支中串聯的數目，m，s的個數是多少時才能使R中的有效電功率最大？這個問題需要根據電學的基爾霍夫定律列出方程，然后借助極值最值的方法求解最值的問題。

（2）變壓器鐵芯的設計[1]。一種變壓器的鐵芯的截面為正十字型，為保證所需的磁通量，要求十字型具有的面積，問該如何設計正十字型的寬及長，才能使其外接圓的周長最短，從而使繞在鐵心上的銅線最少？這是一個涉及圖形結構的最值問題。

（3）最佳視角問題。海洋公園里有一個高為a米的虞美人雕塑，底座高為b米，為了觀賞時對塑像張成的夾角最大，應站在離底座腳多遠的地方。這是一個求張角的正切值最大的最值問題。

3）不定積分與定積分及其應用，本章要求理解不定積分和定積分的概念，熟悉不定積分的運算公式和法則，能快速準確地辨別函數的積分類型，掌握定積分換元積分和分部積分的計算要領，并有針對性的實施積分運算。

定積分在機電領域中的應用包括：

（1）變力做功問題。在工程技術方面有大量的變力做功的計算問題，如裝滿水的圓柱形水池，要把池中水全部抽出需要做多少功；水平放置的彈簧在它拉伸時，要克服彈力做多少功；蒸汽機或內燃機的汽缸內的氣體膨脹時，氣體推動活塞做多少功。這些功都是非均勻變化的量要用定積分來計算。

（2）轉動慣量。在工程技術領域里，常常要計算物體的轉動慣量，它是剛體力學里一個重要的物理量，例如汽車發動機上的飛輪、風扇的扇輪等，在運行時都要計算它們的轉動慣量。由質點對軸的轉動慣量得出物體對軸的轉動慣量，就必須對微元進行積分。

4）一階常微分方程及其解法。本章要求掌握一階常微分方程的基本概念和求解方法，能夠運用所學知識，認識和解決專業課程中微分方程的求解問題。對于本章內容的應用，主要有以下幾方面：

（1）放射性元素衰變問題。放射性元素由于不斷由原子釋放出微粒子而變成其他元素，其質量也不斷減少，這就是衰變，由原子物理學知道，元素的衰變速度與未衰變時原子的質量成正比，已知鈾原子最初的質量，在衰變過程中，它的質量怎樣隨時間變化。這是一個一階微分方程求解問題。

（2）RL閉合電路問題。由電阻、電感串聯而成的閉合電路叫RL閉合電路，當電動勢為E的電源接入電路時，電路中有電流通過，求電流與時間的變化規律。由基爾霍夫第二定律列出方程，求解一個一階線性非齊次微分方程。

（3）交通管理中的黃燈問題[2]。在十字路口的交通管理中，亮紅燈之前，要亮一段時間的黃燈，這是為了讓那些正行駛在十字路口的人注意，告訴他們紅燈即將亮起，假如你能夠停住，應當馬上剎車，以免沖紅燈違反交通規則。這里我們不妨想一下：黃燈應當亮多久才比較合適？這是一個小的數學模型，需要分兩步來解決，第一步，根據該街道的法定速度 求出停車線位置（即停車線到街口的距離）。第二步， 根據停車線位置及法定速度確定黃燈該亮多久。這是一個應用牛頓定律來解決的微分方程問題。

5）線性代數初步。本章要求掌握矩陣的概念和運算，會判斷矩陣的秩，會求逆矩陣，能夠求解一般的線性方程組。本章內容的應用我們引入如下實例：

（1）交通網絡流量分析問題[3]。城市道路網中每條道路、每個交叉路口的車流量調查，是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎。根據實際車流量信息可以設計流量控制方案，必要時設置單行線，以免大量車輛長時間擁堵。根據每個路口進出車輛數目列出線性方程組求解。

（2）平板的穩態溫度分布問題。在熱傳導的研究中， 一個重要的問題是確定一塊平板的穩態溫度分布，根據熱傳導定律， 只要測定一塊矩形平板四周的溫度就可以確定平板上各點的溫度.。假設忽略垂直于該截面方向上的熱傳導， 并且每個節點的溫度等于與它相鄰的四個節點溫度的平均值，這樣就可以列出一個線性方程組來求解。

6）拉普拉斯變換。本章主要要求掌握拉氏變換的概念和性質，并會求拉氏逆變換。拉氏變換的應用是給我們提供了解微分方程的另一種方法。

以一個典型的RLC二階電路來說明，它的電路方程一般是一個二階微分方程，我們沒有學過，但是借助于拉氏變換，我們就可以解決這樣的問題。先對方程兩邊取拉氏變換，整理得到頻域解，再做拉氏逆變換，就可以得到時域解。

以上內容是我們對機電類高職數學教材每個內容的應用分析，這樣的教學案例的引入體現了數學教學內容與專業課的融合，體現了高職數學的基礎性、應用性，這是符合職業教育要求的，也是符合高職學生的心理預期的。

【參考文獻】

[1]張慶堯.實用數學[M].北京：機械工業出版社，2008，9.

[2]http：//www.doc88.com/p-0337217049064.html[OL].

[3]http：//wenku.baidu.com/link？url=yowxJ-hKaQHEznZPFYai1__LblEPlgp7FEHZ pnjgU5y-_P7czIyFB3EZe_kEHQ34BY6rAWLCLTO3Aoer6hQ854EM4GtDYyyvh1f OwbX3pq[OL].

[責任編輯：楊玉潔]