提煉函數關系式　解決生活小難題

陳　鋒

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提煉函數關系式解決生活小難題

陳鋒

一次函數在我們的日常生活中有非常廣泛的應用，如購物、租借、住宿，經營者為了盈利促銷進行宣傳；為尋求最優方案，可以利用一次函數解決問題；當人或車進行運動時，為合理分配時間或速度，也可利用一次函數解決問題……因此，對于生活中的問題，只要能提煉出一次函數關系式，就能為我們解決問題提供方便.

一、規律探尋

1.如圖1所示，用火柴棍擺“金魚”，按照上面的規律，擺n個“金魚”需用的火柴棒根數為________.

圖1

【分析】本題的規律就是：每增加一個金魚就增加6根火柴棒；若不能發現這個規律，也可設一次函數一般式獲得答案.

解：設y=kx+b，x=1時，y=8，x=2時，y= 14，解得y=6x+2，填6n+2.

【點評】本題是一道關于數字猜想問題，關鍵是通過歸納總結或大膽假設，得到其中的規律.

二、最優方案

2.“黃金1號”玉米種子的價格為5 元/kg，如果一次購買2 kg以上的種子，超過2 kg部分的種子的價格打8折.

（1）根據題意，填寫下表：

購買種子的數量/kg　 1.5　 2　 3.5　 4　…付款金額/元　7.5　16　…

（2）設購買種子數量為x kg，付款金額為y元，求y關于x的函數解析式；

（3）若小張一次購買該種子花費了30元，求他購買種子的數量.

【分析】（1）根據單價乘數量，可得答案；

（2）根據單價乘數量，可得價格，可得相應的函數解析式；

（3）根據函數值，可得相應的自變量的值.

解：（1）10，18；

（2）根據題意得，

當0≤x≤2時，種子的價格為5元/千克，∴y=5x，

當x＞2時，其中有2千克的種子按5元/千克計價，超過部分按4元/千克計價，

∴y=5×2+4（x-2）=4x+2.y關于x的函數解析式為：

（3）∵30＞10，

∴一次性購買種子超過2千克，

∴4x+2=30.解得x=7.

答：他購買種子的數量是7千克.

【點評】本題考查了一次函數的應用，分類討論是解題關鍵.

3.根據大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務.為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商.經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100 元.經洽談協商：A公司給出的優惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔運費.另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人.

（1）分別寫出學校購買A、B兩公司服裝所付的總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數x之間的函數關系式；

（2）問：該學校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由.

【分析】（1）根據總費用=男生的人數×男生每套的價格+女生的人數×女生每套的價格就可以分別表示出y1（元）和y2（元）與男生人數x之間的函數關系式；

（2）根據條件可以知道購買服裝的費用受x的變化而變化，分情況討論，當y1＞y2時，當y1=y2時，當y1＜y2時，求出x的范圍就可以求出結論.

解：（1）總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數x之間的函數關系式分別是：

y1=0.7［120x+100（2x-100）］+2 200= 224x-4 800，

y2=0.8［100（3x-100）］=240x-8 000；

（2）由題意，得

當y1＞y2時，即224x-4 800＞240x-8 000，解得：x＜200，

當y1=y2時，即224x-4 800=240x-8 000，解得：x=200，

當y1＜y2時，即224x-4 800＜240x-8 000，解得：x＞200.

即當參演男生少于200人時，購買B公司的服裝比較合算；

當參演男生等于200人時，購買兩家公司的服裝總費用相同，可在任一家公司購買；

當參演男生多于200人時，購買A公司的服裝比較合算.

【點評】本題考查了根據條件求一次函數的解析式的運用、運用不等式求設計方案的運用，解答本題時根據數量關系求出解析式是關鍵，建立不等式計算優惠方案是難點.

4.某校校園超市老板到批發中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進貨單價是甲品牌進貨單價的2倍，考慮各種因素，預計購進乙品牌文具盒的數量y（個）與甲品牌文具盒的數量x（個）之間的函數關系如圖2所示.當購進的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120個時，購進甲、乙品牌文具盒共需7 200元.

圖2

（1）根據圖像，求y與x之間的函數關系式；

（2）求甲、乙兩種品牌的文具盒進貨單價；

（3）若該超市每銷售1個甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個乙種品牌的文具盒可獲利9元，根據學生需求，超市老板決定，準備用不超過6 300元購進甲、乙兩種品牌的文具盒，且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利不低于1 795元，問該超市有幾種進貨方案？哪種方案能使獲利最大？最大獲利為多少元？

【分析】（1）根據函數圖像由待定系數法就可以直接求出y與x之間的函數關系式；

（2）設甲品牌進貨單價是a元，則乙品牌的進貨單價是2a元，根據購進甲品牌文具盒120個可以求出乙品牌的文具盒的個數，由共需7 200元為等量關系建立方程求出其解即可；

（3）設甲品牌進貨m個，則乙品牌進貨（-m+300）個，根據條件建立不等式組求出其解即可.

解：（1）設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，由函數圖像，得

∴y與x之間的函數關系式為y=-x+300.

（2）∵y=-x+300，

∴當x=120時，y=180.

設甲品牌進貨單價是a元，則乙品牌的進貨單價是2a元，由題意，得

120a+180×2a=7 200，

解得：a=15，

∴乙品牌的進貨單價是30元.

答：甲、乙兩種品牌的文具盒進貨單價分別為15元，30元.

（3）設甲品牌進貨m個，則乙品牌進貨（-m+300）個，由題意，得

解得：180≤m≤181，

∵m為整數，

∴m=180，181.

∴共有兩種進貨方案：

方案1：甲品牌進貨180個，則乙品牌進貨120個；

方案2：甲品牌進貨181個，則乙品牌進貨119個.

設兩種品牌的文具盒全部售出后獲得的利潤為W元，由題意，得

W=4m+9（-m+300）=-5m+2 700.

∵k=-5＜0，

∴W隨m的增大而減小，

∴m=180時，W最大=1 800元.

【點評】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式、列一元一次方程解實際問題、列一元一次不等式組解實際問題，解答時求出第一問的解析式是解答后面問題的關鍵.

三、行程問題

5. 2013年“中國好聲音”全國巡演重慶站在奧體中心舉行.童童從家出發前往觀看，先勻速步行至輕軌車站，等了一會兒，童童搭乘輕軌至奧體中心觀看演出，演出結束后，童童搭乘鄰居劉叔叔的車順利到家.其中x表示童童從家出發后所用時間，y表示童童離家的距離.下圖能反映y與x的函數關系式的大致圖像是（）.

【分析】本題考查了用圖像法表示函數，考查了對用圖像表示的分段函數的正確辨別.對于用圖像描述分段函數的實際問題，要抓住以下幾點：①自變量變化而函數值不變化的圖像用水平線段表示；②當兩個階段的圖像都是一次函數（或正比例函數）時，自變量變化量相同，而函數值變化越大的圖像與x軸的夾角就越大；③各個分段中，準確確定函數關系；④確定函數圖像的最低點和最高點.

解：時間x=0時，童童還在家里，所以圖像必過原點；勻速步行前往，說明y逐步變大，是正比例函數；等輕軌車，x變化，而y不變化，圖像是水平線段；乘輕軌車勻速前往奧體中心，速度比步行時大，在相同時間內，函數值變化量比步行時大，所以圖像是比步行時k值大的一次函數.這樣，就基本可以確定答案為A.

【點評】本題容易出現的錯誤是對函數圖像的分段不準，對各個階段相對的變化快慢忽視.

6.“龜兔首次賽跑”之后，輸了比賽的兔子沒有氣餒，總結反思后，和烏龜約定再賽一場.圖中的函數圖像刻畫了“龜兔再次賽跑”的故事（x表示烏龜從起點出發所行的時間，y1表示烏龜所行的路程，y2表示兔子所行的路程）.有下列說法：

①“龜兔再次賽跑”的路程為1 000米；②兔子和烏龜同時從起點出發；③烏龜在途中休息了10分鐘；④兔子在途中750米處追上烏龜.其中正確的說法是________.（把你認為正確說法的序號都填上）

【分析】結合函數圖像及選項說法進行判斷即可.

解：根據圖像可知：

龜兔再次賽跑的路程為1 000米，故①正確；兔子在烏龜跑了40分鐘之后開始跑，故②錯誤；烏龜在30到40分鐘時的路程為0，故這10分鐘烏龜沒有跑在休息，故③正確；y1=20x-200（40≤x≤60），y2= 100x-4 000（40≤x≤50），當y1=y2時，兔子追上烏龜，此時20x-200=100x-4 000，解得：x=47.5，y1=y2=750米，即兔子在途中750米處追上烏龜，故④正確.綜上可得①③④正確.

故答案為：①③④.

【點評】本題考查了函數的圖像，讀函數的圖像時首先要理解橫縱坐標表示的含義，理解問題敘述的過程，有一定難度.

圖3

7.某學校開展“青少年科技創新比賽”活動，“喜洋洋”代表隊設計了一個遙控車沿直線軌道AC做勻速直線運動的模型.甲、乙兩車同時分別從A，B出發，沿軌道到達C處，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，設t（分）后甲、乙兩遙控車與B處的距離分別為d1，d2，則d1，d2與t的函數關系如圖3，試根據圖像解決下列問題：

（1）填空：乙的速度v2=_______米/分；（2）寫出d1與t的函數關系式；

（3）若甲、乙兩遙控車的距離超過10米時信號不會產生相互干擾，試探求什么時間兩遙控車的信號不會產生相互干擾.

【分析】（1）根據路程與時間的關系，可得答案；

（2）根據甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根據路程與時間的關系，可得a的值，根據待定系數法，可得答案；

（3）根據兩車的距離，可得不等式，解不等式，可得答案.

解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），故答案為40.

（2）v1=1.5×v2=1.5×40=60（米/分），

60÷60=1（分鐘），a=1，d1=

（3）d2=40t，當0≤t＜1時，d1+d2＞10，

即-60t+60+40t＞10，

解得0≤t＜2.5，

當0≤t＜1時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾；

當1≤t≤3時，d2-d1＞10，即40t-（60t-60）＞10，解得t＜2.5，

當1≤t＜2.5時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾.

綜上所述：當0≤t＜2.5時，兩遙控車的信號不會產生相互干擾.

【點評】本題考查了一次函數的應用，（1）利用了路程、速度、時間三者的關系，（2）分段函數分別利用待定系數法求解，（3）當0≤t＜1時，d2+d1＞10，當1＜t≤3時，d2-d1＞10，分類討論是解題關鍵.

四、其他問題

8.一個大燒杯中裝有一個小燒杯，在小燒杯中放入一個浮子（質量非常輕的空心小圓球）后再往小燒杯中注水，水流的速度恒定不變，小燒杯被注滿后水溢出到大燒杯中，浮子始終保持在容器的正中間.用x表示注水時間，用y表示浮子的高度，則用來表示y與x之間關系的選項是（）.

【分析】分三段考慮.①小燒杯未被注滿，這段時間，浮子的高度快速增加；②小燒杯被注滿，大燒杯內水面的高度還未達到小燒杯的高度，此時浮子高度不變；③大燒杯內的水面高于小燒杯，此時浮子高度緩慢增加.

解：①小燒杯未被注滿，這段時間，浮子的高度快速增加；

②小燒杯被注滿，大燒杯內水面的高度還未達到小燒杯的高度，此時浮子高度不變；

③大燒杯內的水面高于小燒杯，此時浮子高度緩慢增加.

結合圖像可得B選項的圖像符合.

故選B.

【點評】本題考查了函數的圖像，解答本題需要分段討論，另外本題重要的一點在于：浮子始終保持在容器的正中間.

（作者單位：江蘇省無錫市太湖格致中學）