從課本的一道圖像問題談起

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從課本的一道圖像問題談起

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蘇科版八年級上冊（第158頁）有這樣一個(gè)問題：

例題：根據(jù)圖中的函數(shù)圖像，說出x、y變化過程中的實(shí)際意義.

圖1

【分析】x、y變化過程可以分為三個(gè)部分.

（1）當(dāng)x從0增大到8時(shí)，y從0增大到2；

（2）當(dāng)x從8增大到14時(shí)，y的值不變；

（3）當(dāng)x從14增大到24時(shí)，y從2減小到0.

如果給x、y這兩個(gè)變量以某種實(shí)際意義，那這個(gè)圖像就可以表示某種實(shí)際的變化過程.

解：設(shè)x表示時(shí)間（min），y表示路程（km），則圖的實(shí)際意義可以是：小明以250 m/min的速度勻速騎自行車8 min到達(dá)某地；在該地休息了6 min；然后以200 m/min的速度勻速騎自行車10 min返回出發(fā)地.

課本中的這一問題是看圖“講故事”，即賦予“函數(shù)圖像”以某種實(shí)際意義（不唯一），有利于同學(xué)們學(xué)會(huì)“讀”函數(shù)圖像，更好地感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，更深刻地感悟模型思想.

變式1（2015·浙江義烏）小敏上午8：00從家里出發(fā)，騎車去一家超市購物，然后從這家超市返回家中.小敏離家的路程y（米）和所經(jīng)過的時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖像如圖2所示.請根據(jù)圖像回答下列問題：

（1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少時(shí)間？

（2）小敏幾點(diǎn)幾分到家？

圖2

【分析】本題屬圖像分析問題，考查對圖像的識別、分析能力.圖像中的三條線段體現(xiàn)了分段函數(shù).

解：（1）3000÷10=300米/分，逗留時(shí)間為30分鐘.

（2）設(shè)回家時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系是y= kx+b，代入（40，3000），（45，2000）可得：

于是y=-200x+11 000，當(dāng)y=0時(shí)，x=55.

答：返回到家時(shí)間為8：55.

【點(diǎn)評】此題考查了函數(shù)圖像與實(shí)際問題的結(jié)合，根據(jù)已知圖像得出正確信息是解題關(guān)鍵.

變式2（2015·江西南昌）在一次遙控車比賽中，電腦記錄了速度的變化過程，如圖3所示，能否用函數(shù)關(guān)系式表示這段記錄？

圖3

【分析】根據(jù)所給圖像及函數(shù)圖像的增減性，本題要分三種情況進(jìn)行討論.電腦記錄提供了賽車時(shí)間t（s）與賽車速度v（m/s）之間的關(guān)系，在10 s內(nèi)，賽車的速度從0增加到7.5 m/s，又減至0，因此要注意時(shí)間對速度的影響.

解：觀察圖像可知.

當(dāng)t在0～1 s時(shí)，速度v與時(shí)間t是正比例函數(shù)關(guān)系，v=7.5t（0≤t≤1）.

當(dāng)t在1～8 s時(shí)，速度v保持不變，

v=7.5（1＜t≤8）；

當(dāng)t在8～10 s時(shí)，速度v與時(shí)間t是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)一次函數(shù)為v=kt+b（k≠0），又一次函數(shù)圖像過（8，7.5）和（10，0），

∴v=-3.75t+37.5（8＜t≤10）.

【點(diǎn)評】待定系數(shù)法的做法是，在函數(shù)上找出一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)，代入設(shè)好的函數(shù)式，面對三段圖像，各個(gè)擊破是常用的方法.

變式3（2014·浙江）小聰和小明沿同一條路同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到寧波天一閣查閱資料，學(xué)校與天一閣的路程是4千米.小聰騎自行車，小明步行，當(dāng)小聰從原路回到學(xué)校時(shí)，小明剛好到達(dá)天一閣.圖4中折線O-A-B-C和線段OD分別表示兩人離學(xué)校的路程s（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系，請根據(jù)圖像回答下列問題.

圖4

（1）小聰在天一閣查閱資料的時(shí)間為______分鐘，小聰返回學(xué)校的速度為______千米/分鐘；

（2）請你求出小明離開學(xué)校的路程s（千米）與所經(jīng)過的時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)小聰與小明迎面相遇時(shí)，他們離學(xué)校的路程是多少千米？

（2）由圖像可知，s是t的正比例函數(shù)，設(shè)所求函數(shù)的解析式為s=kt（k≠0），將（45，4）代入得4=45k，解得k=.

（3）由圖像可知，在30≤t≤45的時(shí)段內(nèi)，小聰離開學(xué)校的路程s是t的一次函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為s=mt+n（m≠0），將（30，4），（45，0）代入得解得

即當(dāng)小聰與小明迎面相遇時(shí)，他們離學(xué)校的路程是3千米.

【點(diǎn)評】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用、一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出一次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

由上面的例子可以看出，一次函數(shù)題型豐富，但都是有規(guī)律可循的，通過對課本問題的理解和掌握，在解題的過程中仔細(xì)審題，抓住一次函數(shù)的本質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，考場上才能做到以不變應(yīng)萬變，從容答題.

（作者單位：江蘇省無錫市新城中學(xué)）