操作探究　猜想結論　推理證明
——探究關于坐標軸夾角平分線對稱的點的活動方案

陸祥雪　彭景暉

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操作探究猜想結論推理證明
——探究關于坐標軸夾角平分線對稱的點的活動方案

陸祥雪彭景暉

【活動背景】本次活動是在同學們學習了《平面直角坐標系》一章后，了解了坐標系中對稱點的坐標特點的情況下，利用幾何畫板軟件，探究關于坐標軸夾角平分線對稱的點的特點.將現代信息技術與數學實驗融合起來，通過操作、觀察、歸納、類比等活動發現規律，猜想結論，發展合情推理能力，并認識到結論的正確性要通過推理來確認.

【課前準備】

筆記本電腦數臺，要安裝幾何畫板軟件，裝有投影設備的教室.

【活動過程】

活動一：觀看老師的操作步驟，模仿操作

步驟：1.打開幾何畫板界面，熟悉一些基本操作；

2.點擊“繪圖”菜單，在下拉菜單中，選擇“網格樣式”，再在其子菜單中，選擇“方形網格”（如圖1）；

圖1

3.標注原點O，選擇“點”工具，分別在x、y正負半軸上，標上點P、M、Q、N；

圖2

4.依次選中點P、O、Q，在菜單“構造”的下拉菜單中，選擇角平分線，則可畫出x軸正半軸與y軸正半軸所夾角的平分線，類似可畫另外三條.

圖3

說明：把∠POQ、∠MON的角平分線合稱為：第一、三象限的角平分線；把∠MOQ、∠PON的角平分線合稱為：第二、四象限的角平分線.

5.在坐標平面內任點一點，利用菜單“顯示”的下拉菜單中的“點的標簽”，標注為點A.再點擊菜單“度量”的下拉菜單中的“坐標”，就可以得到點A的坐標.點擊點A及∠POQ的角平分線，在菜單“變換”的下拉菜單中選擇“反射”，則可得到點A關于∠POQ的角平分線對稱的點，標注為A′點并度量其坐標.

圖4

活動二：小組活動，觀察點A與點A′坐標的特點

用鼠標拖動點A，觀察當點A變化時，點A′的坐標變化情況，并做適當記錄.類似探究關于∠MOQ、∠MON、∠PON的角平分線的對稱點的坐標特點.

思考：1.點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線的對稱點P′的坐標是什么？

2.點Q（a，b）關于第二、四象限的角平分線的對稱點Q′的坐標是什么？

活動三：全班交流，匯報觀察結果

第一小組匯報：我們發現：坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線的對稱點P′的坐標為（b，a）.

第二小組匯報：我們發現：坐標平面內任一點Q（a，b）關于第二、四象限的角平分線的對稱點Q′的坐標為（-b，-a）.其他小組表示贊同.

活動四：證明結論

結論1平面直角坐標系內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線的對稱點P′的坐標為（b，a）.

圖5

證明：連接PP′交于第一、三象限的角平分線于點Q，作PM⊥x軸于點M，作P′N⊥y軸于點N，連接OP、OP′.因為點P、P′關于第一、三象限的角平分線對稱，可得OP=OP′，∠POQ=∠P′OQ，則∠POM= ∠P′ON.所以，△POM≌△P′ON.故OM=ON，PM=P′N.

又因為P（a，b），所以，OM=ON=a，PM =P′N=b，即P′的坐標為（b，a）.

結論2平面坐標系內任一點Q（a，b）關于第二、四象限的角平分線對稱點的坐標為（-b，-a）.

仿結論1的證明方法，容易得證.各小組同學自行完成，相互評價.

活動五：理解與運用

已知兩點D（1，-3）、E（-1，-4），點Q是第一、三象限的角平分線上一動點，試求QD+ QE的最小值.

朱澤辰同學到黑板上展示他的解答過程.

解：作點D（1，-3）關于第一、三象限的角平分線的對稱點D′，由結論1得，點D′的坐標為（-3，1）.再連接D′E，交第一、三象限的角平分線于點Q，則DQ+EQ最小.最小值即為D′E的長，由勾股定理，得D′E=

圖6

【活動收獲】通過本次活動，你體會到將信息技術與數學學習相結合有什么優勢？你體會到合情推理與演繹推理間的什么關系？

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）