直角坐標系中點的規律探索題賞析

殷　萍

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直角坐標系中點的規律探索題賞析

殷萍

“規律探索問題”是指給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形，或是給出與圖形有關的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊含的規律，進而歸納或猜想出一般性的結論，并加以驗證的數學探究題.近幾年中考試題中除了典型的數、式、幾何圖形的規律探究外，還涌現出不少坐標系中的新題，成為一個新的“亮點”，讓人深思，值得欣賞.

例1（2013·聊城）如圖1，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…，那么點A4n+1（n為自然數）的坐標為（用n表示）_______.

圖1

【解析】根據向上，向右，向下，向右的方向每次移動一個單位，所得點的橫坐標依次是0，1，1，2，2，3，3，4，…，特別是點A1、A5、A9、A13的橫坐標分別為0，2，4，6，由此推知點A4n+1的橫坐標為2n；所得點的縱坐標依次是1，1，0，0，1，1，0，0，…，特別是點A1、A5、A9、A13的縱坐標分別為1，1，1，1，由此推知點A4n+1的縱坐標為1，所以點A4n+1（n為自然數）的坐標為（2n，1）.

【點評】對于點的運動，一方面可從圖形中觀察點的位置的變化，另一方面可分別尋找點的橫坐標與縱坐標的變化規律，即探索序號與橫坐標的規律、序號與縱坐標的規律的雙重關系，本題還需注意點An與點A4n+1的區別.

例2（2014·株洲）在平面直角坐標系中，孔明做走棋的游戲，其走法是：棋子從原點出發，第1步向右走1個單位，第2步向右走2個單位，第3步向上走1個單位，第4步向右走1個單位…依此類推，第n步的走法是：當n能被3整除時，則向上走1個單位；當n被3除，余數為1時，則向右走1個單位；當n被3除，余數為2時，則向右走2個單位.當走完第100步時，棋子所處位置的坐標是（）.

A.（66，34）B.（67，33）

C.（100，33）D.（99，34）

【解析】根據走法，每3步為一個循環組依次循環，且一個循環組內向右3個單位，向上1個單位，用100除以3，然后根據商和余數的情況確定出所處位置的橫坐標與縱坐標即可.

解：由題意得，每3步為一個循環組依次循環，且一個循環組內向右3個單位，向上1個單位，∵100÷3=33余1，∴走完第100步，為第34個循環組的第1步，所處位置的橫坐標為33×3+1=100，縱坐標為33×1=33，∴棋子所處位置的坐標是（100，33）.故選C.本題考查了坐標確定位置，點的坐標的規律變化，讀懂題目信息并理解每3步為一個循環組依次循環是解題的關鍵.

例3（2015·河南）如圖2，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3……組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第2015秒時，點P的坐標是（）.

A.（2014，0）B.（2015，-1）

C.（2015，1）D.（2016，0）

圖2

【解析】本題考查直角坐標系中點坐標的規律探索.

∵半圓的半徑r=1，∴半圓長度=π，

∴點P位于第1008個半圓的中點上，且這個半圓在x軸的下方.

∴此時點P的橫坐標為：1008×2-1= 2015，縱坐標為-1，∴點P（2015，-1）.

練習

1.如圖3，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順時針旋轉到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在 x軸上，依次進行下去….若點， B（0，4），則點B2014的橫坐標為_______.

圖3

2.如圖4，以O（0，0）、A（2，0）為頂點作正△OAP1，以點P1和線段P1A的中點B為頂點作正△P1BP2，再以點P2和線段P2B的中點C為頂點作正△P2CP3，…，如此繼續下去，則第六個正三角形中，不在第五個正三角形上的頂點P6的坐標是_______.

圖4

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）