例談點(diǎn)的確定問題中的思想方法

沐文中

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例談點(diǎn)的確定問題中的思想方法

沐文中

“數(shù)學(xué)思想方法是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，基于數(shù)學(xué)知識，又高于數(shù)學(xué)知識的一種隱形知識.”下以《平面直角坐標(biāo)系》中有關(guān)點(diǎn)的確定問題為例，談?wù)勂渲兴鶟B透的數(shù)學(xué)的思想方法，望同學(xué)們能舉一反三.

一、逆向思考

例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（m-1，2m+3），當(dāng)m取不同值時，P表示不同的點(diǎn)，但P永遠(yuǎn)不可能在第幾象限？

【分析】同學(xué)們常見的解法是，m取幾個不同的值代入，如m=2，0，-2，描點(diǎn)觀察P點(diǎn)可能在第一、第二、第三象限，故不在第四象限.此時不妨運(yùn)用逆向思維.若在第一象限，則得到不等式組解集為m＞ 1，所以可能在第一象限.類似地，若在第四象限，則得到不等式組無解，所以不可能在第四象限.

加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)我們思維的靈活性和發(fā)散性，使我們能進(jìn)行知識的遷移.

二、類比聯(lián)想

例2如圖1，將射線OX按逆時針方向旋轉(zhuǎn)β角，得到射線OY，如果點(diǎn)P為射線OY上的一點(diǎn)，且OP=a，那么我們規(guī)定用（a，β）表示點(diǎn)P在平面內(nèi)的位置，并記為P（a，β）.例如，圖2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么點(diǎn)M在平面內(nèi)的位置記為M（8，110）.

圖1

圖2

（1）圖3中，如果點(diǎn)N在平面內(nèi)的位置記為N（6，30），那么ON=_______，∠XON=_______；

圖3

（2）如果點(diǎn)A、B在平面內(nèi)的位置分別記為A（4，30），B（4，90），試求A、B兩點(diǎn)之間的距離.

（3）在（2）中，若以AB為一邊在平面內(nèi)作等邊三角形△ABC，試用上述記法表示出另一個頂點(diǎn)C.

【分析】此題是一道閱讀理解題，涉及極坐標(biāo)系的內(nèi)容，同學(xué)們會在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中遇到.我們可以類比聯(lián)想平面直角坐標(biāo)系表示物體位置的方法，聯(lián)想此題確定P點(diǎn)位置的兩個數(shù)據(jù)：第一個表示長度，第二個表示角度，從而轉(zhuǎn)化成幾何問題，尤其是第2問，90°-30°=60°，我們會聯(lián)想到等邊三角形的知識，所以AB=4，從而實(shí)現(xiàn)知識的遷移.

三、分類討論

例3 如圖4，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，2），若點(diǎn)P在x軸上，且△APO是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是（）.

圖4

A.（4，0）B.（1，0）

【分析】作為選擇題，我們會采用代入描點(diǎn)法確定B是不可能的.這時我們只能解決一道題而不是一類題，若改為填空題或解答題要求求出所有滿足條件的點(diǎn)，就要求我們會用分類的思想方法來解決.分類的思想就是要求我們從具體出發(fā)，選取適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，同時要確保分類的結(jié)果既無遺漏，也不能交叉重復(fù)，這種滲透有助于培養(yǎng)我們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性.此題以等腰三角形的頂角為分類的依據(jù)，A在頂角或O在頂角或P在頂角. P（14，0），P（22，0），P（3-2，0）P（42，0），故B不可能.在解決本題的基礎(chǔ)上我們還可深入思考：若P在坐標(biāo)軸上時共有幾個？從而打開我們的思路，增強(qiáng)我們的數(shù)學(xué)能力.

我們現(xiàn)在缺少的不是數(shù)學(xué)知識，而是對數(shù)學(xué)的深刻理解；缺少的不是問題解決，而是發(fā)現(xiàn)問題的眼光；缺少的不是題量，而是舉一反三的能力.數(shù)學(xué)思想方法能幫助我們認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)觀和用數(shù)學(xué)解決問題的能力，讓我們自己去建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識和處理問題，更積極有效地探究數(shù)學(xué)的奧秘.

（作者單位：江蘇省泰州中學(xué)附屬初級中學(xué)）