一道課本例題及其變式的研究

楊　林

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一道課本例題及其變式的研究

楊林

一、例題呈現

如圖1，點B、點C在x軸上，試在第一象限內畫等腰三角形ABC，使它底邊為BC，面積為10，并寫出△ABC各頂點的坐標.（蘇科版八（上）第123頁例3）

圖1

【解析】點B、C的坐標分別為B（1，0），C（5，0），BC=4.根據題意，可知等腰△ABC 的BC邊上的高為5，所以點A的縱坐標為5，點A在BC的垂直平分線上，所以其橫坐標為3，即A（3，5）.在第一象限內畫出△ABC（如圖2）.

圖2

二、變式研究

變式1如圖1，點B、C在x軸上，試在第一象限內畫等腰直角三角形ABC，并求出A點坐標.

【解析】由原題解析知BC=4，若∠ABC= 90°，如圖3，則AB=BC.所以A（1，4）；若∠BCA=90°，BC=AC，如圖4，所以A（5，4）；若∠BAC=90°，如圖5，則AB=AC，過點A 作AD⊥BC于點D，則AD=BD=CD=2，所以A（3，2）.

圖3

圖4

圖5

說明：由于題目所求等腰直角三角形未指明斜邊、直角邊或直角頂點，所以必須分情況討論，畫出所有可能情況.

變式2如圖6，已知，點A、點B在x軸上，試在y軸上確定點C，使∠ACB=90°.

圖6

【解析】點A、B的坐標分別為A（-1，0），B（4，0），且AB=5.設OC=x.

由∠AOC=∠BOC=90°，

根據勾股定理可得：

在Rt△AOC中：OA2+OC2=AC2，即x2+ 1=AC2.

在Rt△BOC中，OB2+OC2=BC2，即x2+ 16=BC2.

在Rt△ACB中：AC2+BC2=AB2，即x2+ 1+x2+16=25，解得：x=±2.

所以C（0，2），C′（0，-2）.

說明：因為不知道點C的確切位置，所以要考慮點C的所有可能情況，防止漏解.

變式3正方形OABC如圖7所示，O為坐標原點.若點A（3，-1），試求點C的坐標.

圖7

【解析】過點A作AD⊥y軸于點D，過點C作CE⊥y軸于點E.

由題意可知：AD=3，OD=1.

∵∠ADO=∠CEO=90°，∠AOC=90°，

∴∠DAO+∠DOA=90°，

∠COE+∠DOA=90°，

∴∠EOC=∠DAO.

又∵OC=OA，∴△OEC≌△ADO，

∴OE=AD=3，CE=OD=1，

∴C（1，3）.

說明：解決此題的關鍵是要掌握由點找坐標的方法，再借助正方形的特殊性，利用全等三角形的知識求解.

變式4點A、B的位置如圖8，若點A（-2，1）、B（-2，-1）、P（4，3）.

①用尺規作圖的方法找到A、B所在平面直角坐標系中原點O的位置.

②若點C坐標為（1，2），試在圖中標出點C的位置.

圖8

【解析】觀察A、B兩點的坐標發現：它們的橫坐標相同，縱坐標互為相反數，所以AB的垂直平分線即為x軸所在直線，垂足M點的坐標為（-2，0），又由于P點在A、B的右邊，所以向右方向為正方向，則M點的位置向右平移兩個單位即為原點位置，如圖9.

圖9

【拓展】若點A的坐標不變，點B坐標改為（-2，-3），你還能確定原點的位置嗎？有興趣的同學不妨試一試.

（作者單位：江蘇省泰州中學附屬初級中學）