Pytkeev空間與弱FU空間的幾個注記

王漢鋒，賀　偉

(1.山東農業大學數學系，山東 泰安 271018;2.南京師范大學數學科學學院，江蘇 南京 210023)

Pytkeev空間與弱FU空間的幾個注記

王漢鋒1，賀偉2

(1.山東農業大學數學系，山東 泰安 271018;2.南京師范大學數學科學學院，江蘇 南京 210023)

[摘要]討論了Pytkeev空間與弱FU空間幾個映射的性質，得到了兩類空間被連續映射保持與逆保持的幾個結論，糾正了Malykhin與Tironi的兩個錯誤證明.

[關鍵詞]Pytkeev空間；弱FU空間；閉映射；完全映射；可數緊度

1預備知識

弱第一可數空間是一類重要的拓撲空間，它們的出現豐富了拓撲空間中點的逼近與鄰近理論，因而成為一些拓撲學家研究的熱門領域.比較典型的弱第一可數空間有Fréchet空間、序列空間、子序列空間等，[1-3]近些年來許多更弱的相對序列空間被引入，如α-序列空間、β-序列空間、filter-Fréchet空間等.[4-5]弱第一可數空間對于一些拓撲公開問題的解決起到了重要作用，如在著名的Mi-空間方面(i=1，2，3)，Mizaokami與Shimane先是證明了Fréchet空間+M3-空間是M1-空間，后又證明了k-空間+M3-空間是M1-空間.[6-7]

本文所討論的弱FU空間與Pytkeev空間是由Malykhin[8]引入的兩類空間，它們界于Fréchet空間與具有可數緊度的空間之間，其中弱FU空間是Fréchet空間的直接推廣，它把Fréchet空間中收斂序列中的點列弱化為互不相交有限集列，得到了一個比序列空間還弱的空間；而Pytkeev空間則將可數緊度性質中可數的點列變為由無限集組成的集列，得到了一個比可數緊度空間更強的空間.這兩類空間對于進一步研究弱第一可數空間的結構關系，探索不同空間之間的聯系有著重要的意義.

定義5[1]設x，y為拓撲空間，我們給出下面定義：

(1)稱f:x→y為閉映射，是指對x的每個閉集f，f(f)是y的閉集；

(2)稱f:x→y為完全映射，是指f是閉映射，且對每個y∈y，f-1(y)是緊集；

(3)稱f:x→y為偽開映射，是指對每個y∈y，f-1(y)?u∈τ(x)，都有y∈f0(u)，其中f0(u)表示f(u)在y中的內部;

(4)稱f:x→y為有限(可數)到一的，是指對每個y∈y，f-1(y)是有限(可數)的.

定義6[10]設x為拓撲空間，x∈x，Γ={Oα|α∈Λ}是由x的開集構成的集合，Υ={Pβ|β∈Δ}是x的一個集族.若對x的每個鄰域u，都有Oα∈Γ使得Oα?u，則稱Γ={Oα|α∈Λ}是x的π-鄰域基；若對x的每個鄰域u，都有Pβ∈Υ使得Pβ?u，則稱Υ={Pβ|β∈Δ}是x的π-網.

2主要結論

定理1若f:x→y是閉映射，x是Pytkeev空間，則y是Pytkeev空間.

例1存在一個Pytkeev空間x及開映射f:x→y，但y不是Pytkeev空間.

證明設x={0}∪{(n，k)|k，n∈N}，βN是N的Stone-Cěch緊化[9]，p∈βNN，即p為N上的一個極大濾子，以NN表示從N到N內的全體函數構成的集合.令v(n，m)={(n，k)|k≥m}，對f?N，f∈NN，記h(f，f)=∪{v(n，f(n))|n∈f}.

下面證明x是Pytkeev空間.

因為在x中只有點x=0是非孤立點，所以只對x=0進行討論.

設y=N∪{p}，p為上述極大濾子，y作為βN的子空間，具有子空間拓撲，即N中的點為孤立點，點p的鄰域為形如{p}∪f的子集，其中f∈p.

下面用反證法證明y不是Pytkeev空間.

映射f:x→y定義如下：f(0)=p，對每個n∈N，f({(n，k)|k∈N})={n}，容易驗證f是連續映射，下面證明f是開映射，從而Pytkeev空間性質不被連續開映射所保持.

設u∈τ(x)，若0?u，則f(u)?N，由于N是y的離散開子空間，所以f(u)∈τ(y)；若0∈u，則存在f={ni|i∈N}∈p及f∈NN使得{0}∪h(f，f)?u，所以{0}∪f?f(u)，故f(u)∈τ(y)，因此f是開映射.

由于例1中的f是可數到一的，故可數到一的開映射不一定保持Pytkeev空間性質.

定理2若f:x→y是有限到一的偽開映射，x是Pytkeev空間，則y是Pytkeev空間.

推論1若f:x→y是有限到一的開映射，x是Pytkeev空間，則y是Pytkeev空間.

定理3若f:x→y是閉映射，x是弱FU空間，則y是弱FU空間.

下面的定理4與定理5給出改正后的證明.由于文獻[8]指出了緊的可數緊度空間是Pytkeev空間，Pytkeev空間是弱FU空間，故可將文獻[8]中的可數緊度纖維條件改為Pytkeev纖維或弱FU纖維.

定理4設f:x→y是完全映射，y是Pytkeev空間.若對每個y∈y，f-1(y)是Pytkeev空間，則x是Pytkeev空間.

下面證明x(π)ξ.

由上述(1)、(2)知，x是Pytkeev空間.

由于下面定理5的前半部分證明與定理4完全類似，因此只證明后半部分.

定理5設f:x→y是完全映射，y是弱FU空間.若對每個y∈y，f-1(y)是弱FU空間，則x是弱FU空間.

為了證明x是弱FU空間，需要證明{ξn|n∈N}滿足如下兩個引理.

綜上，x是弱FU空間.

[參考文獻]

[1]林壽.廣義度量空間與映射[M].北京：科學出版社，1995：51-79.

[2]高國士.拓撲空間論[M].北京：科學出版社，2000：42-47.

[3]FRANKLIN S P，RAJAGOPALAN M.On subsequential spaces [J].Topology and its Applications，1990，35：1-19.

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[6]CEDER J G.Some generalizations of metric spaces [J].Pacific J Math，1961，11：105-125.

[7]MIZAOKAMI T，SHIMANE N.On the M3versus M1problem [J].Topology and its Application，2000，105：1-13.

[8]MALYKHIN V I，TIRONI G.Weakly Frechet-Urysohn and Pytkeev spaces [J].Topology and its Applications，2000，104：181-190.

[9]兒玉之宏，永見啟用.拓撲空間論[M].北京：科學出版社，2001:292-303.

[10]李琦.等邊η-形式正則性的新證明[J].東北師大學報(自然科學版)，2014，46(2)：22-24.

(責任編輯：李亞軍)

Several notes on Pytkeev spaces and weakly FU spaces

WANG Han-feng1，HE Wei2

(1.Department of Mathematics，Shandong Agricultural University，Taian 271018，China;2.College of Mathematics，Nanjing Normal University，Nanjing 210023，China)

Abstract:Several mapping properties about Pytkeev spaces and weakly FU spaces are investigated and some results on being preserved and adversely preserved about the two class of spaces are given by continuous mappings.Moreover，two wrong proofs by Malykhin and Tironi are corrected.

Keywords:Pytkeev spaces；weakly FU spaces；closed mapping；perfect mapping；countable tightness

[文章編號]1000-1832(2016)02-0044-04

[收稿日期]2014-12-28

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11171156)；山東省自然科學基金資助項目(ZR2014AL002).

[作者簡介]王漢鋒，男，博士，講師，主要從事拓撲學研究.

[中圖分類號]O 189.1[學科代碼]110·31

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.011