幾類特殊曲線的微分幾何理論研究

孫建國，裴東河

(1.中國石油大學理學院，山東 青島 266580；2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

幾類特殊曲線的微分幾何理論研究

孫建國1，裴東河2

(1.中國石油大學理學院，山東 青島 266580；2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

[摘要]偽零曲線與偏零曲線在物理學研究中起著非常重要的作用.通過偽向量積與Frenet方程，可得偽零曲線與偏零曲線的微分幾何性質；局部上，通過曲率等幾何量可以描述子流形與偽球的切觸；同時給出偽零曲線與偏零曲線的AW(k)型存在條件.

[關鍵詞]AW(k)型曲線；偏零曲線；偽零曲線；劉維爾聯絡

1915年，愛因斯坦發現廣義相對論實際上就是在偽歐氏空間中空間、時間和引力的形成理論，在此之后，很多科學家對偽歐氏空間進行了系統的研究.[1-10]偽歐氏空間與歐氏空間的主要不同點就是光向量的出現，因此偽歐氏空間中的子流形的幾何性質與歐氏空間中子流形的幾何性質有很大的區別.[3-4，9-10]當三維歐氏空間增加一個類時向量時，該空間就成了四維Minkowski空間，同時Minkowski幾何對廣義相對論經典理論的應用起到非常大的作用.在Minkowski空間中，光線可以看成為零向量所在的直線，因此對帶有零向量標架的曲線進行研究具有一定的物理學意義.本文主要討論在四維Minkowski空間中由類空向量所拓展的偽零曲線與偏零曲線的幾何意義.

Arslan和West在1995年給出了子流形的AW(k)型概念的應用，同時Arslan等討論了歐氏空間和Minkowski空間中部分子流形的AW(k)型性質.[1，3-4，6-9]然而，到目前為止人們對Minkowski空間曲線AW(k)型性質的研究都是在非類光Frenet標架下進行的，本文主要對Minkowski空間中帶有類光標架下的類空曲線的偽零曲線與偏零曲線的AW(k)型曲線幾何性質進行研究.

若無特殊說明，本文所有曲線或曲面都為光滑的.

1預備知識

設R4={(x1，x2，x3，x4)|xi∈R(i=1，2，3，4)}為四維向量空間.對于任意兩個向量x=(x1，x2，x3，x4)與y=(y1，y2，y3，y4)，定義x與y的偽向量積為：

〈x，y〉=x1y1+x2y2+x3y3-x4y4，

2偏零曲線的幾何性質

(1)

γ′(s)=T(s)；

記：

N1(s)=k1(s)N(s)；

(2)

(3)

(4)

注2.1γ′(s)，γ″(s)，γ?(s)和γ″″(s)為線性無關的，當且僅當向量N1(s)，N2(s)和N3(s)是線性無關的.

定義2.1對于一類空曲線，有如下分類：

(ⅰ)若曲線滿足N3(s)=0，則稱該曲線為AW(1)型曲線；

(ⅱ)若曲線滿足

‖N2(s)‖2N3(s)=〈N3(s)，N2(s)〉N2(s)，

(5)

則稱該曲線為AW(2)型曲線；

(ⅲ)若曲線滿足

‖N1(s)‖2N3(s)=〈N3(s)，N1(s)〉N1(s)，

(6)

則稱該曲線為AW(3)型曲線.

定理2.1設γ(s)為密切數為3的偏零曲線，則γ(s)為AW(1)型曲線，當且僅當

k1(s)=0.

(7)

定理2.2設γ(s)為密切數為3的偏零曲線，則γ(s)為AW(2)型曲線，當且僅當

(8)

證明設γ(s)為AW(2)型偏零曲線，將(3)—(4)式代入到方程(5)中得

因此可得方程(8).反之亦然.

定理2.3設γ(s)為密切數為3的偏零曲線，則γ(s)為AW(3)型曲線，當且僅當

k1(s)=C，

(9)

其中C為常數.

證明設γ(s)為AW(3)型偏零曲線，故該曲線滿足方程(6)，將(2)與(4)式代入到方程(6)中得

推論2.1設γ(s)為密切數為3的偏零曲線，且γ(s)為AW(1)型曲線.則γ(s)也為AW(i)(i=2，3)型曲線.

3偽零曲線的幾何性質

(10)

γ′(s)=T(s)；

記：

N1(s)=N(s)；

(11)

N2(s)=k1(s)B1(s)；

(12)

(13)

注3.1γ′(s)，γ″(s)，γ?(s)和γ″″(s)為線性無關的，當且僅當向量N1(s)，N2(s)和N3(s)是線性無關的.

定理3.1設γ(s)為密切數為3的偽零曲線，則γ(s)為AW(1)型曲線，當且僅當

k1(s)=0.

(14)

證明設γ(s)為AW(1)型偽零曲線，由方程(13)直接可得方程(14).反之顯然成立.

定理3.2設γ(s)為密切數為3的偽零曲線，則γ(s)為AW(2)型曲線，當且僅當

k1(s)=0.

(15)

證明設γ(s)為AW(2)型偽零曲線，則在曲線γ(s)上方程(5)成立，將(12)—(13)式代入到方程(5)中，可得k1(s)=0.反之顯然成立.

定理3.3設γ(s)為密切數為3的偽零曲線，則γ(s)為AW(3)型曲線，當且僅當k1(s)=0.

證明設γ(s)為AW(3)型偽零曲線，將(1)，(13)式代入方程(6)可知該定理正確.反之亦然.

推論3.1設γ(s)為密切數為3的偽零曲線，γ(s)為AW(i)(i=1，2)型曲線.則γ(s)定為AW(j)(i≠j，i=1，2，3)型曲線.

[參考文獻]

[1]ARSLAN K，?ZGü C.Curves and surfaces of AW(k)-type[M].Singapore：World Scientific，1999：21-26.

[2]DUFFAL K L，JIN D H.Null curves and hypersurfaces of semi-riemannian manifolds[M].Singapore：World Scientific，2007：87-103.

[3]KüLAHCI M，ERGüT M.Bertrand curves of AW(k)-type in Lorenzian space[J].Nonlinear Anal，2009，70：1725-1731.

[5]劉海明，孫偉志，苗佳晶.關于函數芽的相對通用形變和通用開折[J].東北師大學報(自然科學版)，2009，41(2):30-34.

[6]O’NEILL B.Semi-riemannian geometry with applications to relativity[M].London：Academic Press，1983：21-83.

[7]?ZGüR C，GEZGIN F.On some curves of AW(k)-type[J].Diff Geom Dyn Syst，2005(7):74-80.

[8]SUN J G，PEI D H.Null surfaces of null curves on 3-null cone[J].Phys Lett A，2014，378:1010-1016.

[9]SUN J G，PEI D H.Some new properties of null curves on 3-null cone and unit semi-Euclidean 3-spheres[J].J Nonlinear Sci Appl，2015(8):275-284.

[10]WAKRAVE J.Curves and surfaces in Minkowski space[M].Leuven：KU Leuven，1995：232-304.

(責任編輯：李亞軍)

Differential geometry properties of some special curves

SUN Jian-guo1，PEI Dong-he2

(1.School of Science，China University of Petroleum，Qingdao 266580，China；

2.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

Abstract:Pseudo null curves and partially null curves have important physical meanings.Via the pseudo-scalar product and Frenet equations，the differential geometry of pseudo null curves and partially null curves is obtained.In local sense，the curvature and other geometric quantity can describe the contact of submanifolds with pseudo-spheres.On the other hand，the existence conditions of pseudo null curve and partially null curves are given.

Keywords:AW(k)curve；partially null curve；pseudo null curve；Levi-Civita connection

[文章編號]1000-1832(2016)02-0040-04

[收稿日期]2015-03-20

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(11271063)；山東省自然科學基金(青年)資助項目(ZR2014AQ016)；中央高校創新基金資助項目(15CX02068A).

[作者簡介]孫建國(1981—)，男，博士，講師，主要從事微分幾何與奇點理論研究.

[中圖分類號]O 189.1[學科代碼]110·3155

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.010