黎曼流形上漂移薛定諤算子的加權特征值估計

譚沈陽，黃體仁，張學華

(1.南京理工大學泰州科技學院基礎部，江蘇 泰州 225300;2.浙江理工大學數學系，浙江 杭州 310018;3.黃山學院數理統計學院，安徽 黃山 245041)

黎曼流形上漂移薛定諤算子的加權特征值估計

譚沈陽1，黃體仁2，張學華3

(1.南京理工大學泰州科技學院基礎部，江蘇 泰州 225300;2.浙江理工大學數學系，浙江 杭州 310018;3.黃山學院數理統計學院，安徽 黃山 245041)

[摘要]研究了黎曼流形上漂移薛定諤算子-Δφ+V的加權特征值估計問題，利用試驗函數方法得到了特征值的楊洪倉型不等式，同時得到了高階特征值的上界估計，將已有文獻結果推廣到更一般的情形.

[關鍵詞]黎曼流形；特征值估計；漂移拉普拉斯

0引言

1956年Payne等[1]考慮了下列固定膜問題

(1)

得到了特征值的一個全局不等式，并將之推廣到n維情形即PPW不等式

(2)

1980年Hile和Protter[2]得到了下面的HP不等式

1991年楊洪倉[3]證明了著名的第一楊型不等式

和第二楊型不等式

關于算子特征值的研究進展可參考文獻[1-5].

近來一些數學家研究了權重黎曼流形上的漂移拉普拉斯算子的特征值問題[6-8]

(3)

其中φ是定義在Ω上的光滑函數.2013年夏昌玉和許洪偉[9]考慮了黎曼流形上該算子的特征值估計，得到了一個楊型不等式

本文主要考慮特征值問題

(4)

其中v表示非負位勢函數，ρ為M上正的連續函數.

由分部積分可知

0<λ1≤λ2≤…≤λr≤….

本文通過試驗函數的方法得到了關于算子-Δφ+v特征值的一個廣義不等式，并通過特殊的試驗函數得到了一個楊洪倉型不等式，該結果包含了夏昌玉和許洪偉[9]的結果.

1一個關鍵引理

引理1假設λi為問題(4)的第i個特征值，μi為λi的正交特征函數，即

(5)

則對任意的h∈C3(M)∩C2(?M)和任意的整數k，

(6)

證明定義試驗函數

(7)

其中

Aij=∫Mρhuiujdμ=Aji.

則

∫Mρφiujdμ=0，φi|?M=0，?i，j=1，…，k.

(8)

直接計算可知

(9)

將(9)式代入著名的Rayleigh-Ritz不等式得

(10)

(11)

令

(12)

則

(13)

令

(14)

利用(8)，(12)，(13)式與h?lder不等式得

(15)

從而

(16)

(17)

另一方面，根據(14)式有

(18)

將(18)式代入(17)式中并將i從1加到k得

(19)

(20)

將(20)式代入(19)式中即可完成證明.

2主要結果及證明

引理2假設M為n維完備黎曼流形，Ω?M為具有光滑邊界的有界區域，φ為Ω上的光滑函數，λi為下面問題的第i個特征值

(21)

如果M等距嵌入到Rm且平均曲率為h，則

(22)

證明設xα(α=1，2，…，m)為Rm的標準坐標函數，在(22)式中取h=xα，關于α從1加到m有

(23)

(24)

同時

Δ(x1，x2，…，xm)≡Δ(x1，x2，…，xm)=nH，

(25)

(26)

(27)

將(24)─(27)式代入(23)式即可完成引理的證明.

定理1假設引理2的條件均成立，令

則

(28)

證明顯然

(29)

(30)

(31)

將(29)─(31)式代入(22)式即可證得定理結論.

注當ρ=1，v=0時定理1的結論即為文獻[9]中的結果.

易見不等式(28)是一個二次不等式，通過解該不等式可得關于特征值的第二楊洪倉型不等式.

推論1假設引理2條件成立，則

(32)

其中

注由推論1易知第k+1個特征值可以用前面的k個低階特征值來控制

[參考文獻]

[1]PAYNE L E，POLYA G，WEINBERGER H F.On the ratio of consecutive eigenvalues[J].J Math and Phis，1956，35:289-298.

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[4]CHENG Q M，YANG H C.Inequalities for eigenvalues of Laplacian on domains and compact hypersurfaces in complex projective spaces[J].J Math Soc Japan，2006，58：545-561.

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[6]MA L，LIU B Y.Convex eigenfunction of a drifting Laplacian operator and the fundamental gap [J].Pacific J Math，2009，240：343-361.

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[8]MA L，DU S H.Extension of Reilly formula with applications to eigenvalue estimates for drifting Laplacians[J].C R Math Acad Sci Paris，2010，348：1203-1206.

[9]XIA C Y，XU H W.Inequalities for eigenvalues of the drifting Laplacian on Riemannian manifolds[J].Ann Glob Anal Geom，2014，45：155-166.

[10]FRIEDRICHS K O.Spectral theory of operators in Hilbert space[M].New York:Springer Verlag，1980:143-163.

(責任編輯：李亞軍)

nequalities for weighted eigenvalues of the drifting Schrodinger operator on Riemannian manifolds

TAN Shen-yang1，HUANG Ti-ren2，ZHANG Xue-hua3

(1.Department of Basic Courses，Taizhou Institute of Science and Technology，Taizhou 225300，China; 2.Department of Mathematics，Zhejiang Science and Technology University，Hangzhou 310018，China; 3.School of Mathematics and Statistics，Huangshan University，Huangshan 245041，China)

Abstract:The Dirichlet weighted eigenvalue problem of the operator -Δφ+V on compact Riemannian manifolds is investigated，where Δφis the drifting Laplacian operator on compact Riemannian manifolds.A yang-type inequality of this problem is established.Estimates for upper bounds of higher order eigenvalues are also obtained.

Keywords:Riemannian manifolds；eigenvalue estimates；drifting Laplacian

[文章編號]1000-1832(2016)02-0035-05

[收稿日期]2014-12-10

[基金項目]國家青年自然科學基金資助項目(11401531)；江蘇省高校自然科學基金資助項目(14KJD110004).

[作者簡介]譚沈陽(1982—)，碩士，主要從事微分幾何研究.

[中圖分類號]O 186[學科代碼]110·2745

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.009