一類差分方程組的亞純允許解

金　瑾

(1.貴州工程應用技術學院數學系，貴州 畢節 551700；2.畢節循環經濟研究院，貴州 畢節 551700)

一類差分方程組的亞純允許解

金瑾1，2

(1.貴州工程應用技術學院數學系，貴州 畢節 551700；2.畢節循環經濟研究院，貴州 畢節 551700)

[摘要]利用亞純函數的Nevanlinna值分布理論，研究了一類差分方程組的亞純解的存在性問題.得到差分方程組的亞純解或同為允許、或同為非允許的結論，進而得到了更一般的結果.

[關鍵詞]差分方程組；亞純函數；允許解；Nevanlinna理論；值分布理論

1預備知識

我們假設讀者熟悉亞純函數的Nevanlinna值分布理論的基本知識和通常記號.[1-19]關于微分方程組的允許解問題，有很多作者做了大量的工作，得到了一大批很好的結果.[1-12]

對下面的高階非線性代數微分方程組

(1.1)

其中

引理3設函數f(z)為復平面上的超越亞純函數，則對任意的正整數k都有

證明由已知條件和引理2，

故

引理4設函數f(z)為復平面上的亞純函數，k是任意的正整數且f(0)=0，f(i-1)(0)=1，f(i)(0)=0 (i=1，2，…，k).則N(r，f(k))≤kN(r，f).

證明由已知，f(k)(z)和f(k-1)(z)以且僅以f(z)的極點為它們的極點.若當f(z)以某點z0為j(j≥1)重極點時，f(k-1)(z)以點z0為k+j-1重極點，f(k)(z)以點z0為k+j重極點.從而

引理5設w1，w2，…，wn都是有限級函數，且T(r，A(i))=o(T(r，wL))，(L=1，2，…，n)，

證明定義

故

由引理3得

所以

(1.2)

下面估計N(r，Ωt(z，w1，w2…，wn)).由已知和引理2，

N(r，Ω1(z，w1，w2，…，wn))=

即

(1.3)

其中I1和I2都是對數測度為有限的例外值集.

證明由已知有

2主要結論

本文利用Nevanlinna值分布理論，對高階非線性代數微分方程組(1.1)的亞純允許解的存在性問題進行了研究.根據以上定義以及眾多研究的基礎上，我們得到以下改進和推廣的結論.

定理1設(w1，w2，…，wn)是非線性微分方程組(1.1)的有限級亞純允許解，則

證明由已知和引理1得：

T(r，R1(z，w1))=max{p1，q1}T(r，w1)+S(r)；

T(r，R2(z，w2))=max{p2，q2}T(r，w2)+S(r)；

??

T(r，Rn(z，wn))=max{pn，qn}T(r，w2)+S(r).

(2.1)

由引理5有：

??

(2.2)

由(1.1)、(2.1)與(2.2)式我們可得：

??

(2.3)

由(2.3)式有：

??

(2.4)

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(責任編輯：李亞軍)

On the meromorphic admissible solution of systems of differential equations

JIN Jin1，2

(1.Department of Mathematics，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China；2.Research Institute of Circular Economy of Bijie，Bijie 551700，China)

Abstract:Using Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions，the problem of the existence of solutions on the higher-order nonlinear algebraic differential equation is investigated.It is shown that the meromorphic solution of the differential equations system are all admissible or non admissible.Moreover，some more general results are deduced.

Keywords:differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

[文章編號]1000-1832(2016)02-0027-04

[收稿日期]2014-10-15

[基金項目]貴州省科學技術基金資助項目(2010GZ43286，2012GZ10526)；貴州省畢節市科研基金資助項目 ([2011]02)；貴州省教育廳科學技術基金重點資助項目([2015]392).

[作者簡介]金瑾(1962—)，男，教授，主要從事復分析研究.

[中圖分類號]O 174.52[學科代碼]110·41

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.007