Barker線圈勻強磁場分析*

宋新昌

(中國船舶重工集團公司第七一〇研究所國防科技工業弱磁一級計量站　宜昌　443003)

Barker線圈勻強磁場分析*

宋新昌

(中國船舶重工集團公司第七一〇研究所國防科技工業弱磁一級計量站宜昌443003)

摘要以畢奧-薩伐爾定律為基礎，運用橢圓積分，推導出單環線圈在空間任意一點產生的磁場公式，進而分析了亥姆霍茲線圈和四環Barker線圈在中心處磁場各分量的分布模型，繪出了空間分布圖，分析結果表明：四環Barker線圈產生磁場的非均勻性小于0.0001的區域半徑是亥姆霍茲線圈的21倍。

關鍵詞橢圓積分; 磁場線圈; 磁場均勻性

Class NumberO441.3

1引言

為開展脈沖磁場治療腫瘤技術的研究，首先要開發一臺穩定可靠、磁場參數大、范圍連續可調的脈沖磁場發生器。脈沖磁場發生器通常包括兩個部分：1)脈沖電流的形成電路；2)磁場線圈。脈沖磁場線圈需要滿足兩個基本條件：1)線圈具有較小的電感；2)線圈內部具有較寬的均勻區域[1～2]。因為線圈的電感過大，不僅會增大脈沖磁場的脈沖前沿，還可能會引起輸出波形的振蕩；脈沖的均勻區域越大，對于醫學實驗研究越有利。

在治療腫瘤用的脈沖磁場發生器的研究中，常用的是單線圈和亥姆霍茲線圈，它們因結構簡單、加工方便得以廣泛應用。但是單線圈和亥姆霍茲線圈的均勻度較低，要實現一定的均勻區，只能通過增大線圈的幾何尺寸來滿足。這樣不僅增加線圈的電感，進而增大脈沖磁場的脈沖前沿，而且給加工制作帶來不便，造成線圈搬運困難，特別是對線圈空間尺寸有嚴格限制時，常用的是單線圈和亥姆霍茲線圈無法滿足設計要求[3～5]。針對以上問題，可以采用組合線圈的方式來實現。

2單線圈在空間任一點處產生的磁場

為了便于描述，建立如圖1所示的座標系。

圖1　線圈座標系

由圖1可知：

(1)

由畢奧-薩伐爾定律[6]得：

(2)

所以：

(3)

(4)

(5)

式(3)～式(5)為橢圓積分，用Maple數值分析軟件[7]對上述三式求解，當y≠0、z≠0時，Bx≠0、By≠0、Bz≠0；當y=0、z≠0時，Bx≠0、By=0、Bz≠0；當y≠0、z=0時，Bx≠0、By≠0、Bz=0；這表明圓環線圈產生的磁感應強度不存在垂直于半徑方向的螺旋分量。當y=z時，By=Bz；當y=C1、z=C2(C1≠C2)時，By=B1、Bz=B2；當y=C2、z=C1(C1≠C2)時，By=B2、Bz=B1；這表明圓環線圈產生的磁感應強度存在徑向的對稱性[8]。

3亥姆霍茲線圈產生的磁場分析

眾所周知，當兩個線圈的半徑相等、匝數相等、間距等于線圈的半徑、所通的電流大小相等方向相同時，中心點附近沿軸向分布的磁場較為均勻，這樣放置的兩個線圈稱為亥姆霍茲線圈，由式(3～5)通過坐標變換可得亥姆霍茲線圈產生的各分量磁場如式(6)～(8)所示(式中X=0.25R)。

(6)

(7)

(8)

線圈中任一點處的磁場Bx(x,y,z)與中心點處的磁場Bx(0,0,0)的相對誤差可以表示為線圈磁場的非均勻性IH，IH越小，磁場的均勻度越高[9]。

(9)

在此用Maple數值分析軟件分析了半徑為1m，匝數為1匝，電流為1A，線圈間距為0.5m時亥姆霍茲線圈產生的磁場，由于圓形線圈產生磁場的對稱性，取z=0平面的磁場強度，表1給出了z=0平面軸向磁場Bx的非均勻性數據，圖2、圖3分別給出了z=0平面軸向磁場Bx的非均勻性圖像及非均勻性小于0.0001和0.001的區域。

表1　z=0平面Bx均勻性數據

圖2　z=0平面Bx非均勻性

圖3　z=0平面Bx非均勻性區域

由圖2可以清楚的看到，亥姆霍茲線圈產生的軸向磁場強度Bx在z=0的平面內具有馬鞍形結構，當x保持不變時，Bx隨著y值的增大而增大；當y保持不變時，Bx隨著x值的增大而減小，磁場具有對稱性。由圖3可以看到在z=0的平面內，軸向磁場分量Bx在x/R=0.01、y/R=0.015的區域內非均勻性小于0.0001；在x/R=0.03、y/R=0.045的區域內非均勻性小于0.001，其中非均勻性邊界區域不規則可能是由于橢圓積分取近似的結果造成的。

由上述分析可知，亥姆霍茲線圈在中心點附近線圈半徑1.5%的區域內產生軸向磁場的非均勻性小于0.0001，在中心點附近線圈半徑3%的區域內產生軸向磁場的非均勻性小于0.001，所以亥姆霍茲線圈產生的磁場均勻性相對較低。

4四環Barker線圈產生的磁場分析

為了產生高度均勻的磁場，可以采用共軸的多組線圈系統來實現，各組線圈的位置和尺寸及匝數需要滿足相應的參數，否則不能產生高度均勻的磁場，在此分析了四環Barker線圈系統[10]，這類系統的特點是各段線圈兩兩對稱，處在公共圓柱表面上，亦即系統滿足條件R1=R2=R(如圖4)，所通電流的方向相同，系統的特點是簡單及可能以很高的精度加工制作。則四環Barker線圈產生的磁場如式(10)～式(11)所示：

(10)

(11)

圖4　四環barker線圈示意圖

為了確定各段線圈的匝數、位置、半徑等參數，借助Maple數值分析軟件對Bx的表達式求x的一～八階導數，然后把x=0、y=0帶入各階導數的表達式，其一、三、五、七階導數的表達式由于Barker線圈系統的對稱性等于0，二、四、六、八階導數的表達式不等于0，在此令二、四、六、八階導數的表達式等于0之后聯立方程組，可以解出：X1/R=0.2432，X2/R=0.9407，w2/w1=2.2606。

在線圈加工過程中，Barker線圈所有各段圓環相串聯，在接到公共電源上，這時要保證w2/w1=2.2606有一定的困難，這些缺點可以通過預先對結構做一些處理來消除。首先給出易于實現的匝數比，這個匝數比要盡可能的接近理論計算值，然后從均勻性條件出發，求出幾何參數相應的微小增量。在此我們取w2/w1=7/3≈2.3333，則X1/R=0.2327，X2/R=0.9171，二階導數k2=0、四階導數k4=0、六階導數k6=-0.074、八階導數k8=-0.448，此時表征圓柱的條件并未受到破壞，但由于六階導數不為零，從而降低了對均勻性的要求，這樣的系統已經不是最佳系統，但由于六階導數與八階導數相比很小，對于實際應用來說，六階導數是否為零并不重要。

表2　z=0平面Bx均勻性數據

用Maple數值分析軟件分析了R=1m，X1=0.2327m，w1=7匝；X2=0.9171m，w2=3匝，電流為1A的四環Barker線圈系統產生的磁場，由于圓形線圈產生磁場的對稱性，在此取z=0平面的磁場強度，表2給出了z=0平面軸向磁場Bx的非均勻性數據，圖5、圖6分別給出了z=0平面軸向磁場Bx的非均勻性圖像及非均勻性小于0.0001和0.001的區域。

圖5　z=0平面Bx非均勻性

圖6　z=0平面Bx非均勻性區域

由圖5可以清楚地看到，由于兩側圓環的磁場調節作用，四環Barker線圈產生的軸向磁場Bx在z=0的平面內已經不具有馬鞍形結構，但磁場具有對稱性。由圖6可以看到在z=0的平面內，軸向磁場分量Bx在中心點r/R=0.32的圓形區域內非均勻性小于0.0001；在中心點r/R=0.45的圓形區域內非均勻性小于0.001。

由上述分析可知，四環Barker線圈在中心點附近線圈半徑32%的區域內產生的軸向磁場非均勻性小于0.0001，在中心點附近線圈半徑45%的區域內產生軸的向磁場非均勻性小于0.001，所以四環Barker線圈產生的磁場均勻性相對較高。

5結論

本文以畢奧-薩伐爾定律為基礎，運用橢圓積分，推導出單環線圈在空間任意一點產生的磁場公式，通過坐標變換分析了亥姆霍茲線圈和四環Barker線圈在中心處磁場各分量分布模型及圖像，分析結果表明：四環Barker線圈產生的軸向磁場非均勻性小于0.0001的區域半徑是亥姆霍茲線圈產生的軸向磁場非均勻性小于0.0001的區域半徑的21倍，非均勻性小于0.001的區域半徑是亥姆霍茲線圈的15倍。在一些實際應用中，若要產生高度均勻的勻強磁場或者線圈的體積不能做的太大，可以采用四環Barker線圈系統的結構形式。

參 考 文 獻

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Analysis of Barker Magnetic Field Coils with High Homogeneity

SONG Xinchang

(1st Class Weak Magnetic Metering Station of NDM, No. 710 R & D Institute, CSIC, Yichang443003)

AbstractBased on the biot-savart law, using elliptic integral, the magnetic field formula of single-ring coil in any space is deduced, each component of the magnetic field model are analyzed both in the center of the Helmholtz coils and four ring Barker coils, distribution diagrams is given. the analysis result show that the inhomogeneity area radius which is less than 0.0001, the four ring Barker coils is 21 times bigger than the Helmholtz coils.

Key Wordselliptic integral, magnetic coils, magnetic field uniformity

*收稿日期：2015年12月10日,修回日期：2016年1月17日

作者簡介：宋新昌，男，碩士，研究方向：磁性材料及磁路設計。

中圖分類號O441.3

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.06.038