例析函數(shù)值域（最值）的求解策略

張梅

摘 要 通過具體例題，介紹求函數(shù)值域（最值）的常用方法。

關(guān)鍵詞 值域（最值）方法 函數(shù) 求解策略

中圖分類號：G683.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1函數(shù)的值域（最值）的知識點(diǎn)

（1）函數(shù)的值域：函數(shù)，（集合A是函數(shù)的定義域）。與x的值相對應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合（函數(shù)的值域。

（2）最大值定義：設(shè)函數(shù)的定義域為A，如果存在實數(shù)M滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得。稱是函數(shù)的最大值。

（3）最小值定義：設(shè)函數(shù)的定義域為A，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有；（2）存在，使得。稱是函數(shù)的最小值。

（4）一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，且值域為。

2函數(shù)的值域（最值）求解策略

函數(shù)的值域（最值）沒有通性解法，只能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)的解法，下面見方法。

2.1分析觀察法

對于結(jié)構(gòu)簡單的函數(shù)，可以通過基本初等函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域（最值）

例1：求下列函數(shù)的值域。

2.2分離常數(shù)法

對于形如的函數(shù)，可采用分離常數(shù)法求值域（最值）。

例2：求函數(shù)的值域。

2.3反解x法

對于形如（或能夠轉(zhuǎn)化為）的函數(shù)，可以采用反解x法求值域（最值）。

例3：求下列函數(shù)的值域。

2.4配方法

對于二次函數(shù)或能夠轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，可以通過配方法求函數(shù)的值域（最值）。

例4：求下列函數(shù)的值域。

函數(shù)圖像是對稱軸為的開口向下的拋物線，

2.5換元法

用新變量代替原來函數(shù)中的某部分對象，實現(xiàn)化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理超越式為代數(shù)式等，將比較復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于求值域（最值）的函數(shù)進(jìn)行求解。

例5：求下列函數(shù)的值域。

當(dāng)即也即時，有最小值；

當(dāng)即也即時，有最大值。

值域為。

點(diǎn)評：換元法要注意考慮新元“t”的取值范圍。

2.6單調(diào)性法

對于能快速判斷單調(diào)性的函數(shù)，可采用單調(diào)性法求值域（最值）。

例6：函數(shù)的值域為__________。

解：函數(shù)的定義域為，顯然在其定義域上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x=1時，函數(shù)有最小值，故值域為。

2.7判別式法

對于形如、、的函數(shù)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為的形式，再通過求得的范圍。但當(dāng)函數(shù)為指定的函數(shù)時，用判別式法求出y的范圍后，應(yīng)將端點(diǎn)值代回到原函數(shù)進(jìn)行檢驗，避免發(fā)生錯誤。

2.8數(shù)形結(jié)合法

通過聯(lián)想，構(gòu)造幾何模型，探求問題的簡捷解法。對于形如的最值問題，我們一般可以轉(zhuǎn)化為的斜率問題；對于形如的最值問題，我們一般可以轉(zhuǎn)化為動直線的截距問題；對于形如的最值問題，我們一般可以轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離問題。

2.9構(gòu)造輔助角法

由于正余弦函數(shù)都是有界函數(shù)，值域為[-1，1]，通過構(gòu)造輔助角，利用函數(shù)的有界性，可求得（最值）。

2.10導(dǎo)數(shù)法

一般地，當(dāng)函數(shù)較為復(fù)雜而使用其它方法未能奏效時，我們往往可以使用導(dǎo)數(shù)法來進(jìn)行求解。