分數(shù)階人口阻滯增長模型研究

李晨薇,陳福來

(1.長沙市南雅中學(xué),湖南　長沙　410000；2.湘南學(xué)院　數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,湖南　郴州　423000)

分數(shù)階人口阻滯增長模型研究

李晨薇1,陳福來2

(1.長沙市南雅中學(xué),湖南長沙410000；2.湘南學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,湖南郴州423000)

[摘要]建立了分數(shù)階人口阻滯增長模型,并通過一個算例說明了在一定情況下,分數(shù)階人口阻滯增長模型優(yōu)于相應(yīng)的整數(shù)階人口阻滯增長模型。

[關(guān)鍵詞]分數(shù)階微分方程；人口阻滯增長模型；數(shù)值解

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.03.016

1前言

人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一。世界人口的迅猛增長引起了許多問題,特別是一些經(jīng)濟不發(fā)達國家的人口過度增長,影響了整個國家的經(jīng)濟發(fā)展、社會安定和人民生活水平的提高,給人類生活帶來許多問題。為了解決人口增長過快的問題,人類必須控制自己,做到有計劃地生育,使人口的增長與社會、經(jīng)濟的發(fā)展相適應(yīng),與環(huán)境、資源相協(xié)調(diào)。認識人口數(shù)量的變化規(guī)律,作出較準確的預(yù)報,是有效控制人口增長的前提。

指數(shù)增長模型和阻滯增長模型是兩個最基本的人口模型。指數(shù)增長模型由英國人口學(xué)家馬爾薩斯于1978年提出來的,其基本假設(shè)為人口的增長率是常數(shù),獲得的結(jié)果表明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長。而事實上,隨著人口的增加,自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越明顯。阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻滯作用,對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上,使得隨著人口數(shù)量的增加而下降。這個模型比指數(shù)增長模型更加合理。

在近幾十年里,許多學(xué)者指出分數(shù)階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程,在經(jīng)典模型中這些性質(zhì)常常是被忽略的[1]。本文針對人口數(shù)量的變化具有典型的記憶和遺傳性質(zhì),把人口增長模型中的整數(shù)階微分方程修改為分數(shù)階微分方程,能更加準確地預(yù)報人口增長的數(shù)量。

2分數(shù)階人口阻滯增長模型

分數(shù)微分與積分是指微分的階數(shù)與積分的次數(shù)是任意實數(shù)乃至復(fù)數(shù),而不是一個分數(shù)或者分式函數(shù)的微分和積分。分數(shù)階人口阻滯增長模型是:

(1)

(2)

這個積分解是個奇異積分,不能正常求解解析解。利用文[2]的方法和程序,我們可以獲得它的數(shù)值解。

下面基于1790—1990年這兩百年的美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)(見表1),對模型進行檢驗。

表1　美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)

要用模型(1)來預(yù)報人口,必須先對表1中的數(shù)據(jù)進行標準化處理,對模型(1)中的參數(shù)r和xm進行估計。時間t的處理,令1790,1800,…,1990年分別對應(yīng)t=0,1,…,20時刻,即x(0)=3.9,x(1)=5.3,…,x(20)=251.4。參數(shù)r(年固有增長率)取逐年增長率的幾何平均值,由公式:

(3)

獲得,計算出r=0.2127。參數(shù)xm(最大人口容量)基于α=1時的整數(shù)階人口阻滯增長模型:

(4)

所獲得的解析解：

(5)

利用表1中1790—1980年的數(shù)據(jù)擬合獲得,[3]有xm=

464。這樣,我們建立了表1數(shù)據(jù)的分數(shù)階人口阻滯增長模型：

(6)

分別取α=0.8,0.85,0.9,0.95,1代入模型(6),預(yù)測出1800—1990年的人口數(shù),預(yù)測的人口數(shù)量和相對誤差結(jié)果見表2,并用下圖表示相對誤差的結(jié)果。

從表2和圖1的數(shù)據(jù)我們可以看出,α取0.8和0.85時數(shù)據(jù)較好,相對誤差較小,都優(yōu)于α取1時的結(jié)果,尤其是α取0.85時數(shù)據(jù)相對誤差最小,預(yù)報最準確。而α=1時是整數(shù)階人口阻滯增長模型,從而我們知道,在這個算例中,α取適當(dāng)?shù)闹禃r,分數(shù)階人口阻滯增長模型優(yōu)于整數(shù)階人口阻滯增長模型。

參考文獻：

[1]I.Podlubny..FractionalDifferentialEquations[M].SanDiego:AcademicPress,1999.

[2]陳福來,李勢豐,王華.分數(shù)階微分(差分)方程的Matlab求解程序[J].湘南學(xué)院學(xué)報,2011,32(5): 1-4.

[3]趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

表2　美國實際人口與按阻滯增長模型計算的人口比較

取不同值時相對誤差比較圖

[作者簡介]李晨薇(1998—),女,湖南長沙人,長沙市南雅中學(xué)學(xué)生；指導(dǎo)老師：陳福來(1971—),男,湖南桂東人,湘南學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,教授,博士。研究方向：數(shù)學(xué)建模和數(shù)值仿真。