對商務統計教學內容改革的幾點嘗試

吳愛娟,賈魯軍

(1.北京工商大學　嘉華學院,北京　101118；2.中國人民大學　信息學院,北京　100872)

對商務統計教學內容改革的幾點嘗試

吳愛娟1,賈魯軍2

(1.北京工商大學嘉華學院,北京101118；2.中國人民大學信息學院,北京100872)

[摘要]對于推斷統計部分的學習,數學基礎薄弱的商科學生往往感到困難,講授《商務統計》的主要精力放在知識和應用的結合上,目的是更有效地闡述統計學特有的方法論和解釋數據的能力。根據經管類學生的數理基礎較薄弱的特點,我們重于統計學的通識教育,側重講思想、原則和基本計算,不追求嚴謹,內容上刪繁求簡。文章通過兩個教學案例來闡述教學思想。

[關鍵詞]推斷統計；連續型隨機變量；密度函數；面積；區間估計；抽樣誤差

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.14.142

1背景

現代商務統計是搜集、整理、分析現代商務活動信息資料的理論和方法。這些理論和方法主要包含在描述統計和推斷統計中。

希望通過本課程的學習,使學生對統計學的學科體系有一個全面的認識,為學習后續課程作好鋪墊；能明確理解統計這個認識工具的特點、作用；弄懂各種概念、范疇等基本知識；會分析社會經濟現象和現代商業事務的一些具體事例；在今后的工作中,能將統計學的知識貫穿其中。

對于推斷統計部分的學習,數學基礎薄弱的商科學生往往感到困難,其原因大致有這么幾點：概率統計知識基礎不扎實或者沒有先修概率統計課程；推斷統計中的一些結論、公式的推導抽象；推斷統計中的一些思想理解不透徹；推斷統計結果不會解讀。

講授《商務統計》的主要精力放在知識和應用的結合上,目的是更有效地闡述統計學特有的方法論和解釋數據的能力。根據經管類學生的數理基礎較薄弱的特點,應重于統計學的通識教育,側重講思想、原則和基本計算,不追求嚴謹,內容上刪繁求簡。

2兩點嘗試

(1)對于財經類學生,若概率統計基礎知識不扎實或者沒有先修概率統計課程的話,在學習商務統計時,還是要加上概率論基礎這一章節的。學生學習時感到困難的是連續型隨機變量,以往的講解內容是先介紹分布函數,然后結合積分給出密度函數及連續變量的概念,單單是積分、求導就把數理基礎薄弱的學生嚇到了。這部分內容如何講解會淺顯易懂呢？

對于離散型隨機變量,文章介紹了利用概率函數(分布律)來求其取值的概率。區分離散型隨機變量和連續型隨機變量最根本的差異是如何計算其取值的概率,相應于離散型隨機變量的概率函數,連續型隨機變量也有概率函數,稱之為概率密度函數,簡稱為密度函數,記作f(x),不同的是密度函數不直接提供概率,而是,連續型隨機變量落在某個區間上的概率等于該區間上其密度曲線與x軸圍成的圖形面積。這句話用符號可作如下簡潔敘述：

設連續型隨機變量X的密度函數為f(x),y=f(x)與x=a, x=b, x軸圍成的圖形面積為S,如下圖所示。

圖1　P{a≤X≤b}=S

因此,當我們計算連續型隨機變量取值的概率時,計算的是隨機變量的取值落在某個區間上的概率。

我們知道,在一點處f(x)與x軸圍成的圖形面積為0,所以,對連續型隨機變量取一值的概率為0。

下面將以均勻分布為例來闡述上述討論的正確性。

設隨機變量X表示飛機從北京到廣州的飛行時間,X在180分鐘與200分鐘之間隨機取值,因為X可能取值填滿區間[180, 200],故X是一連續型隨機變量。假設我們利用以往足夠多真實的飛行數據推斷出在180～200分鐘的時間區間中,飛行時間落在任何一個間隔為1分鐘的區間內的概率與落在其他任何一個間隔為1分鐘的區間內的概率是相等的。在X落在間隔為1分鐘的區間內是同等可能的條件下,X被稱為是一個均勻概率分布。

對飛行時間這個隨機變量X定義一個均勻分布的概率密度函數：

圖2是f(x)的圖像。

圖2　f(x)的圖像

前面討論過,對一個連續型隨機變量,只考慮其落在某個區間上的概率,故在本例中可問：飛行時間X落在180～190分鐘之間的概率是多少？即P{180≤X≤190}=?

因為飛行時間必須落在180～200分鐘,且在這區間上概率是均勻分布的,則易得P{180≤X≤190}=0.5。

一般地,若一個隨機變量X有密度函數：

則稱隨機變量X服從[a, b]上的均勻分布。

注意到,在前面飛行時間例子中,P{180≤X≤200}=1,這就是說,密度曲線f(x)與x軸圍成的圖形面積為1,這一性質對所有連續概率分布都成立。顯然,這和離散型概率分布的所有概率和為1是類似的。同樣地,與離散型概率分布中每一取值的概率都非負相類似的有連續型概率分布的密度函數f(x)≥0, (x∈R)。

到此,對于連續型概率分布和離散型概率分布的兩個主要差異已顯現出來：

(1)對于連續型隨機變量,我們不再討論隨機變量取特定值的概率,而是討論其取值落在某區間上的概率。

(2)連續型隨機變量X的取值落在x1與x2之間的概率等于其密度曲線f(x)在x1與x2之間與x軸圍成的圖形面積。因為單個點是區間長度為0的區間,所以一個連續型隨機變量取一特定值的概率為0,這也意味著：

P{x1≤X≤x2}=P{x1≤X

接下來有關正態分布和指數分布,就可以繼續利用面積或者查表來討論其取值的統計規律性,從而避開了學生的難處：積分。

(3)對于總體分布中未知參數θ的區間估計的講解,傳統、嚴格的做法盡管嚴謹,但是對于概率統計知識薄弱的財經類學生來說有困難：一是一些抽象的抽樣分布他們掌握不好更不會拿來用；二是不會解讀其區間估計的結果。為此,我們課堂上做了如下嘗試。

以正態總體(方差未知)均值的區間估計為例來介紹。

如何理解上面的48～88分這個置信區間呢？這個區間包含未知的總體均值的真值嗎？對于一個特定的區間,這個問題是無法回答的,這是因為總體的參數值是固定的、未知的。我們能做的就是希望未知的總體參數均值落在此區間中。若再抽取另一個樣本,那么它將會產生出一個多少不同的樣本均值和不同的區間估計,即使有許多不同的置信區間,我們仍希望這些區間都包含參數真值。統計學家有某種程度的信心認為這個區間會包含真正的固定的參數值,所以取名為置信區間。比如這個信心程度(置信水平)為95%,即指這些區間中的95%個包含了總體均值的真值,而5%沒有包含。也可以用其他數值作為置信水平,比如98%、99%等。

例如：某地區成年人睡眠時間服從正態分布,一項隨機抽樣調查得到16個成年人的睡眠時間數據(單位：小時)如下表所示：

16個成年人的睡眠時間數據

問：該地區成年人平均睡眠時間的置信水平為95%的置信區間,你怎么理解該區間？

解:設X=“某地區成年人睡眠時間”,則X～N(μ, σ2),σ2未知,對μ做置信水平為95%的置信區間。

可得到該地區成年人平均睡眠時間的置信水平為95%的置信區間(7.10,7.62)。

上述區間是在具體的一次抽樣下得到的,若這樣的抽樣重復抽取100次,就得到100個具體的置信區間,則在這100個置信區間中有95個包含待估參數μ。

參考文獻：

[1]張俊妮.數據挖掘與應用[M].北京：北京大學出版社,2009.

[2]王漢生.應用商務統計分析[M].北京：北京大學出版社,2008.

[3]雷奧奇·卡塞拉,羅杰L.貝耶.統計推斷[M].2版.北京：機械工業出版社,2002.

[4]吳愛娟.商務統計學[M].北京：知識產權出版社,2015.

[作者簡介]吳愛娟(1979—),女,漢族,山東菏澤人,碩士,講師。研究方向：概率統計。賈魯軍(1978—),男,漢族,山東菏澤人,博士,講師。研究方向：基礎數學(通訊作者)。