恒力系統的設計計算

唐久昌

摘 要：建立恒力系統的數學模型，依據系統的工作原理和幾何模型進行受力分析，推導出平衡系統中節點運行的曲線軌道方程，并結合MATLAB程序及PROE工程軟件繪制軌道曲線，為恒力系統中的軌道曲線提供了一套完整的參數化設計方法。

關鍵詞：恒力系統；設計計算；數學模型；軌道曲線

中圖分類號：TM205+.2 文獻標識碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2016.12.018

教育機構、培訓機構在使用展示板進行人工教學的過程中，需要按照不同的需求便捷地移動展示板，同時保持任意位置平衡，便可輕松操作，將展示板上升或下降到指定的任意位置。恒力機構是一種承受懸掛力不隨受力方向位移變化而變化的柔性順滑的受力系統，即在外部作用保持不變的情況下，一次性調節主彈簧彈力，使其允許位移在一定的范圍內變化，無需外力作用能保持在預定的任意位置的機構?，F階段，我國使用較多的為連桿式拉伸彈簧或者刀型凸輪與壓縮彈簧的恒力系統，以及凸輪恒力矩機構。這幾種均依據力矩平衡原理設計。本文采用拉伸彈簧輔以平衡系統，平衡系統采用曲線軌道對輔彈簧受力進行處理，以滿足對主彈簧的受力補償，達到合力保持定值，提供恒力輸出。

彈簧恒力系統具有以下優點：①結構完全對稱，無產生干擾的外力，運行平滑、順暢、穩定；②采用拉伸彈簧，穩定性高，易于制造；③精度高、受力范圍廣、調節方便、應用范圍廣。

1 恒力系統的工作原理

1.1 主、輔拉伸彈簧的合力原理圖

主、輔拉伸彈簧通過平衡系統形成合力保持恒定值，建立如圖1所示的合力原理圖。

1.2 恒力系統的力學模型結構原理

1.2.1 恒力系統的設計理念

彈簧恒力系統采用合力為恒定值的設計理念，主彈簧為外載提供主要的拉力。由于拉伸彈簧的變形與拉力呈線性的表象，因此不能滿足恒力的要求。如果采用拉伸彈簧向外負載提供恒定的拉力，這需要有一套平衡補償系統來改變主彈簧力的線性為恒定值。根據機械原理和理論力學，采用輔助彈簧來驅動四連桿機構，并配以曲線形軌道構成一套平衡補償系統，補償系統可以平衡主彈簧在拉伸過程中輸出的拉力為一個恒定數值，實現恒力輸出。圖2所示為恒力系統學結構。

1.2.2 恒力系統的組成

恒力系統主要是由固定架、4根主彈簧K1、外載掛架、4根輔助彈簧K2、2條曲線軌道、拉桿、1套四連桿機構、4根主彈簧調整螺桿組成。其中，輔助彈K2、曲線軌道、拉桿、四連桿構成恒力系統中的平衡系統。

1.2.3 恒力系統中各部件的工作原理

固定架用于安裝整個恒力系統；主彈簧K1直接與外負載掛架連接，其拉力直接作用于外負載；外負載掛架用于安裝外載荷；4根輔助彈簧的拉力通過平衡系統中的四連桿、曲線軌道、拉桿組成的平衡系統平衡后輸出平衡力至外負載掛架；2條曲線軌道提供四連桿鉸接點的運行軌跡；拉桿負責輸出輔助彈簧提供的平衡拉力；4根主彈簧調整螺桿用于調整主彈簧的預拉力，以配合外負載所需的拉力。

1.2.4 恒力系統各零部件的運行路徑

圖3所示為恒力系統各部件的運行情況。從圖3中可以看出，當外載掛架開始向下方移動時，主彈簧開始伸長，同時，四連桿的鉸接點A通過拉桿的牽引也開始隨著外載掛架的移動而同步移動。四連桿機構通過4個鉸接點將4根連桿組成一個封閉、對稱的平行四邊形。平行四邊形鉸接點A以及A的對角的鉸接點受到輔助彈簧的拉力，鉸接點B以及B的對角的鉸接點向四邊形外側的曲線軌道驅動。這樣，鉸接點B以及對角的鉸接點就可以沿著曲線軌道的下方移動，各部件按照移動的原則運動。

2 恒力系統的設計

2.1 系統的設計輸入

2.1.1 結構尺寸要求

結構尺寸的要求為：產品安裝面的尺寸為900 mm（長）×1 000 mm（高）×20 mm（厚）。

2.1.2 恒力輸出范圍

恒力輸出范圍為40～75 kgf。

2.1.3 工作行程

工作行程為0～650 mm。

2.2 恒力系統結構及原理圖的設計

2.2.1 規劃結構，制訂外部尺寸要求

根據設計輸入的尺寸要求進行結構的規劃，制訂外部安裝尺寸要求，規劃產品實現結構的最佳方案，布局各零部件，盡可能精確地排好主要的部件位置以及運動軌跡的范圍。

2.2.2 劃出輸出恒力的范圍，制訂選擇方案

初步劃出輸出恒力的范圍，制訂力學零件的選擇方案與方向。

2.2.3 制訂結構方案和運動軌跡方案

制訂與工作行程相關的結構方案和運動軌跡的方案，盡可能配合補償平衡系統所采用的主要零部件的尺寸以及工作要求。

2.2.4 具體設計

根據設計輸入、草圖及采用的原理確定結構尺寸。本文所闡述的主要是恒力系統，其主要零部件的尺寸需根據總裝圖確定。主彈簧采用外徑小于或等于45 mm的圓柱拉伸彈簧，數量4根；輔助彈簧采用外徑小于或等于25 mm的圓柱拉伸彈簧，數量4根；四連桿長度為400 mm，數量4根；曲線軌道2根。

3 恒力系統力學分析

根據工作原理及力學結構模型為系統建立等效的受力分析模型圖，并對各部分部件進行受力分析，如圖4所示。圖4中，A，B，C，D為四連桿機構的4個鉸接點。主彈簧K1為外載掛架提供彈力F1，輔助彈簧K2提供給四連桿鉸接點C彈力F2。在四連桿機構中，上連桿受到來自鉸接點的壓力F3、F4、F5。F3、F4、F5為曲線軌道對連桿機構中鉸接點的支撐力。P為系統向外載提供的拉力。連桿結構中鉸接點A的位移量為h，鉸接點C的位移量為l，軌道切線水平夾角為α，連桿與垂直線的夾角為β。根據設計要求，連桿的長度為400 mm，鉸接點A與C的初始距離為750 mm，鉸接點A的位移量為650 mm。圖5所示為恒力平衡系統軌道曲線。

3.1 彈簧受力分析

3.1.1 主彈簧的受力分析

根據式（16）～（21），得到：

（-（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1-（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2）×dh/dl+（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1 -（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2））×（1 300×k1+k2×l-k1×h）×800×（1-（（750-h+l）/800）^2）^0.5/（k2×c+k1×h）/（750-h+l）+0.5×dh/dl+0.5=0. （24）

根據微分方程得到h與l之間的函數關系，整理式（22）得到：

（-（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1-（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2）×dh/dl+（200×（l/320 000-h/320 000+3/1 280））/（1-（l/800-h/800+15/16）^2）^（1/2））×（1 300×k1+k2×l-k1×h）×800×（1-（（750-h+l）/800）^2）^0.5/（k2×c+k1×h）/（750-h+l）+0.5×dh/dl+0.5=0. （25）

從結構模型圖可以知道，定值a=400 mm，d=750 mm，從合力原理圖可以看出Ft2是定值，Ft2的表達式為：

6 恒力系統部件的設計

6.1 設計彈簧

6.1.1 主彈簧設計

根據產品的設計輸入和結構要求，主彈簧采用外徑應小于或等于45 mm。結合恒力系統的合力分析圖，考慮到系統在重力方向使用的工況，需要按照重力方向來設計主彈簧。由結構設計得到滑動部件的質量為18.1 kg，外負載受力為40～75 kg，則主彈簧的受力范圍為58.1～93.1 kg（569.38～912.38 N）。由于屬于II類載荷，極限載荷Pj=93.1×9.8×1.25=1140.5 N，采用4根彈簧，每根彈簧的極限載荷為Pj1=1140.5/4=285.2 N。

查《機械設計手冊》，并根據Pj與D 得到每根彈簧的參數為：材料直徑d=3.5 mm，彈簧中經D=40 mm，工作極限Pj=293.40 N，工作載荷下的單圈變形量f1=12.67 mm，單圈剛度Pd=23.2 N/mm，初拉力P0=22.1 N。

圖6所示為主、輔彈簧對外載作用合力，彈性系數為kz，根據圖6得到4×P0+4×kz×650=569.38，則每根主彈簧的彈性系數kz=0.185 N/mm，主彈簧的線徑為-3.5 mm，中徑為40 mm，有效圈數n=23.2/0.185=125.4，取n=126圈。

6.1.2 輔彈簧設計

依據主彈簧的彈性系數以及系統的工作行程得到輔助彈簧需要提供預拉力以及運行過程中的額外拉力，即預拉力Ft2=4×kz×650=481 N，系統運行工程中提供的額外拉力為1.25Ft2=601.25 N，輔彈簧受到的總拉力為 481+601.25=1 082.25 N，每根輔助彈簧的極限拉力為Pjf=1 082.25/4=270.6 N。

計算并查《機械設計手冊》可得，輔彈簧的線徑為3 mm，中徑為20 mm，工作極限Pj=339.76 N，工作載荷下的單圈變形量f1=3.398 mm，單圈剛度Pd=100 N/mm，初拉力P0=47.7 N。

根據實際結構及彈簧變形量、單圈的剛度，取彈簧為100圈，即有效圈數n2=100，彈性系數kf=1 N/mm，初拉力為47.7 N。

6.2 軌道的設計

6.2.1 軌道曲線的建立

由式（12）（13）（25）得到軌道曲線方程為：

x=-400×（1-（（750-h+1/4/k2×（-13 00×k1+2×（422 500×k1^2+2 600×k2×k1×h-2×k2×k1×h^2）^（1/2）））/800）^2）^0.5+139.2. （28）

y=-（h+1/4/k2×（-1 300×k1+2×（422 500×k1^2+2 600×k2×k1×h-2×k2×k1×h^2）^（1/2）））/2. （29）

通過對彈簧的設計得出，看k1=4×kz=0.74 N/mm，k2=4×kf=4N/mm。

用Pro/ENGINEER在笛卡爾坐標系內繪制軌道曲線，則有：

x=-400×（1-（（750-650×t+1/4/4×（-1 300×0.74+2×（422 500×0.75^2+2 600×4×0.74×650×t-2×4×0.74×（650×t）^2）^（1/2）））/800）^2）^0.5+139.2. （30）

y=-（650×t+1/4/4×（-1 300×0.74+2×（422 500×0.74^2+2 600×4×0.74×650×t-2×4×0.74×（650×t）^2）^（1/2）））/2. （31）

z=0.

6.2.2 軌道結構設計

根據結構要求設計出軌道的厚度、寬度以及相關裝配的結構。

6.3 其他附件的設計

根據設計規劃設計相應的滑動機構、內部裝配結構和外部安裝結構。

7 恒力系統的設計驗證

主要對彈簧進行設計驗證。

7.1 校核恒力系統靜載荷部件

對恒力系統靜載荷部件進行強度校核。

7.2 運動模擬

進行運動模擬，檢驗運動過程中是否存在干涉現象。

7.3 校核安裝部位的尺寸

對安裝部位的尺寸進行校核。

7.4 主彈簧的設計驗證

7.4.1 載荷驗證

最大實際載荷Pnz=93.1×9.8/4=228.1 N，Pjz=228.1×1.25=285.2 N <293.4 N，合格。

7.4.2 不同行程狀態下彈簧變形的驗證

當最大外負載為75 kg時，主彈簧的受力為75+18.1（滑動部件自重）=93.1 kg×9.8=912.38 N。當外負載在行程為0時，主彈簧的長度為L0=（912-4×22.1-Ft2）/（4×kz）=462 mm，彈簧每圈變形量為f0=463/126=3.67 mm。當外負載在行程為650 mm時，主彈簧的長度為L1=L0+650=1 112 mm，彈簧每圈變形量為f1=L1/n=8.83 mm，其中，彈簧圈數n=126.

從以上得到，彈簧的單圈變形量最大為8.83 mm，小于標準單圈變形12.67 mm。主彈簧滿足要求，輔彈簧驗證合格。

8 恒力輸出的調整

在恒力系統的恒力范圍內調整主彈簧的調節螺桿。

9 結論

從軌道曲線方程可以得出，主、輔彈簧的彈性系數影響曲線軌道系統的輸出，且恒力范圍受到系統輸出力方向和空間尺寸的限制。

參考文獻

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〔編輯：劉曉芳〕