求解工程中靜不定結構內力的通用方法

吳曉(湖南文理學院 機械工程學院，湖南 常德，415000)

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求解工程中靜不定結構內力的通用方法

吳曉
(湖南文理學院 機械工程學院，湖南 常德，415000)

摘要：基于材料力學、結構力學工程中靜不定結構內力的求解多采用力法、位移法等方法，靜不定結構在外載荷作用下的平衡狀態是一個穩定的平衡狀態，其應變能存在極小值，故利用靜不定結構的多余約束力列出其應變能表達式，引入拉格朗日乘數并結合靜力平衡方程，構造拉格朗日函數，對拉格朗日函數求一階導數并令一階導數等于 0，即可求得靜不定結構的內力，并通過算例予以證明。研究結果表明：此方法適用于求解平面或空間靜不定梁、弧形結構、剛架、桁架(包括非線性材料)的約束反力、內力及位移；采用拉格朗日乘數法求解靜不定桁架內力的通用性較強，不但可以克服常規方法需利用幾何關系建立協調方程的缺陷，而且具有力學概念清晰直觀、計算過程簡潔、便于工程設計人員在實際中掌握和計算的優點；其所得結果是精確解析解，故可以用于檢驗其他方法的計算精度。

關鍵詞：靜不定；結構；內力；平衡；拉格朗日函數

靜不定結構由于承力合理，在實際工程中得到了廣泛應用。關于靜不定結構內力的求解，材料力學、結構力學等教材多采用力法、位移法進行求解。力法和位移法是計算靜不定結構的 2個基本方法。位移法將結點位移選作基本未知量，將結構拆成桿件，再由桿件過渡到結構。位移法適合求解靜不定連續梁、靜不定剛架。力法是將多余約束力選作基本未知量，將靜不定結構拆成靜定結構，再由靜定結構過渡到靜不定結構。力法適合求解靜不定連續梁、靜不定剛架、靜不定圓弧結構、靜不定桁架。但是力法求解靜不定結構需補充變形協調方程，對如何補充變形協調方程較困難。文獻[1?2]采用有限元法研究了不同模量桁架的內力。文獻[3]采用余弦函數研究了一般桿系結構節點位移的計算。文獻[4]采用位移法求得了外荷載作用下多桿匯交問題的通解，認為避免了需要列出幾何關系可以求解的困難，但事實上，文獻[4]還是利用桿件變形的幾何關系補充變形協調方程進行計算。文獻[5]采用矢量分析法研究了節點位移的計算，文獻[6]采用速度投影法研究了靜定和靜不定桿系統結構中節點位移的計算。文獻[7]采用純數學運算研究了超靜定桁架中建立變形幾何方程的解析法。文獻[8?9]采用微分解析法研究了超靜定桁架變形協調方程。本文作者采用拉格朗日函數系統研究如何求解平面或空間靜不定梁、弧形結構、剛架、桁架(包括非線性材料)的約束反力及內力，并通過算例分析證明：若采用拉格朗日函數求解靜不定結構內力，則無需補充變形協調方程。

1　拉格朗日函數的構建

靜不定梁、圓弧形結構、剛架主要采用力法、位移法等方法求解約束反力及內力。由于內部靜不定桁架是指桁架本身靜不定，而 外部靜不定桁架本身靜定，支座約束反力作用使桁架變成靜不定。求解靜不定桁架的方法較多。當外力作用在靜不定結構上時，其應變能可用支承約束反力或桿件內力表示為U(R1,R2,L,Rn)，靜力平衡方程或節點處平衡方程為Qj(R1,R2,L,Rn)。由 于靜不定結構在外荷載作用下的平衡是穩定平衡，因此，應變能 U(R1,R2,L,Rn)取極小值時的變量就是靜不定結構約束反力或內力。由以上分析可知，求靜不定結構約束反力或內力，是求解任意有限多自變量多元函數在任意有限多個約束條件下的極小值問題。數學分析及相關專著一般僅對二元函數在多個約束條件下的極值問題采用拉格朗日函數進行求解和證明，而未對有限多個自變量多元函數在任意有限多個約束條件下極值問題求解。因此，本文對采用拉格朗日函數求解此類問題進行證明，并通過算例說明本文方法的應用。

利用靜不定結構應變能函數及靜力平衡方程或節點靜力平衡方程，可構造如下拉格朗日函數：

將式(1)對自變量求一階導數可得：

式中：i=1,2,L ,n ；j=1,2,L ,m ；λj為拉格朗日乘子。由式(1)和式(2)可知：要求式(1)的極小值解，只需求解方程組式(2)。

由拉格朗日函數式(1)及靜力平衡方程式(2)，可知始終有下式成立：

所以，由式(3)和式(4)可知恒有下式成立：

所以，由式(4)和(6)可知恒有下式成立：

由以上充分性及必要性的證明可知：采用拉格朗日函數求解任意有限多個自變量多元函數在任意有限多個約束條件下的極小值問題是可行的。

2　求解靜不定結構內力

2.1靜不定梁內力的求解

算例1求圖1所示一次靜不定梁的多余約束力。

圖1　一次靜不定梁Fig.1　Statically indeterminate beams of the first degree

設A支座的豎向反力和力矩分別為RA和MA(以下類同)，梁的抗彎剛度為EI，梁AB 跨度為l，以 B 點為力矩支點可得

可構造拉格朗日函數為

將式(4)對多余約束力進行一階偏導可得：

由式(5)可得多余約束力為

式(11)與文獻[10]中所得結果是一致的。

算例2計算圖2所示一次靜不定連續梁的多余約束力。

圖2 一次靜不定連續梁Fig.2Statically indeterminateContinuous beams of the first degree

以B點為力矩支點可得

可構造拉格朗日函數為

將式(13)對多余約束力進行一階偏導可得：

由式(14)可求得多余約束力為

式(15)所示結果與文獻[1]中所得結果是一致的。

算例3求圖3所示三次靜不定梁的多余約束力YA，YB，MA和MB。

由材料力學理論可得以下靜力平衡方程：

圖3　三次靜不定梁Fig.3　Statically indeterminate beams of the third degree

可構造拉格朗日函數為

將式(17)對多余約束力進行一階偏導可得：

由式(18)可以求得多余約束力為：

式(19)所示與文獻[11]中結果是一致的。

2.2靜不定圓弧內力的求解

算例4求圖4所示一次靜不定圓弧曲桿的多余約束力。

由材料力學理論可得如下靜力平衡方程：

可構造拉格朗日函數為

圖4一次靜不定圓弧曲桿Fig.4Statically indeterminate arcCurve bar of the first degree

將式(21)對多余約束力進行一階偏導可得：

由式(22)可以求得多余約束力為

MA=0.353 5PR，YA=0.353 5P(23)

式(23)所示結果與文獻[10]中結果是一致的。

2.3靜不定剛架的內力求解

算例5求圖5所示三次靜不定平面剛架的多余約束力。

由材料力學理論可得靜力平衡方程為：

可構造拉格朗日函數：

圖5　三次靜不定平面剛架Fig.5　Statically indeterminate plane rigid frame of the third degree

將式(25)對未知約束力進行一階偏導可得：

由式(26)可以求得未知約束力為

式(27)所示結果與文獻[10]中的結果是一致的。

算例6 求圖6所示空間剛架的未知約束力。

對于圖6所示剛架 AB 桿受到彎矩、扭矩聯合作用，BC桿僅受到彎矩作用。以A為力矩支點可得

可構造拉格朗日函數：

圖6　一次靜不定空間剛架Fig.6　Statically indeterminate space rigid frame of the third degree

將式(29)對未知約束反力進行一階偏導可得：

由式(30)可以求得

式(31)所示結果與文獻[12]中結果是一致的。

2.4靜不定桁架內力的求解

算例7 求圖7所示三次靜不定平面桁架的內力。l1=l2=l3=l4=l5=l，且各桿材料、面積相同。

節點F處平衡方程為

節點D處平衡方程為

圖7　三次靜不定平面桁架Fig.7　Statically indeterminate plane truss of the third degree

節點B處平衡方程為

可構造拉格朗日函數

將式(35)對桿件內力Ni進行一階偏導可得

由式(32)～(36)可以求桁架桿內力及未知約束力為：

在式(37)中令P=240 N時，所得結果與文獻[8]中結果是一致的。

算例8對于圖8所示靜不定桁架，假設靜不定桁架所有桿件長度皆為 l，求桁架內力及支承約束反力。

對于圖8所示靜不定桁架，可知其靜力平衡方程為：

利用桁架各節點的平衡方程，可把桁架各桿件內力用支承約束反力表示為：

圖8　二次靜不定桁架Fig.8　Statically indeterminate triss of the second degree

構造拉格朗日函數為

將式(40)對支承約束反力求一階導數且令一階導數等于0可得：

利用式(35)和(38)可得：

當P=25 N時，式(42)所示結果與文獻[8]中結果是一致的。

算例9圖9為一次靜不定空間桁架示意圖，空間桿系結構由單一結點A通過4個桿與基礎相連，假設所有桿材料、截面積、桿長都相同。桿1和桿3位于水平面ABD內，桿 2和桿4位于垂直平面ACE內，截得角度為∠BAD，∠ BAO=∠DAO=∠CAO=α，在 A點的力 P 作用于垂直平面內，與平面 BCD 平行，且與垂直桿 AE 的夾角為 45°，=3a，，，求各桿內力。

空間桁架的內力平衡方程為

圖9　一次靜不定空間桁架Fig.9　Statically indeterminate space truss of the first degree

可構造拉格朗日函數為

將式(34)對桿件內力Ni進行一階偏導可得：

利用式(33)和(35)可求得空間桁架內力為：

式(46)結果與文獻[13]中結果是一致的。

3　非線性材料桁架變形計算

3.1非線性材料桁架變形能

為了使本文的研究具有一般性，參閱文獻[14?15]，可令材料非線性靜不定桁架的應力及應變表達式為

式中：B和e(e≥1)皆為常數，且對拉伸和壓縮狀態均相同；σ 為應力；ε 為應變(由于e≥1，求桿件拉壓力時無論拉伸和壓縮狀態ε 均取絕對值)。材料非線性靜不定桁架第i個桿件在拉壓力Ni作用下的應變、應力表達式為

式中：Ai為桁架第 i 個桿件的橫截面積。由文獻[14]可知材料非線性靜不定桁架第 i 個桿件的單位體積內應變能ui及單位體積內余能分別為

將式(47)和(48)代入式(49)可得：

由式(50)可得桁架第 i 桿件的應變能、 余能分別為

式中：li為桁架第i個桿件的桿長。再由式(51)可得材料非線性靜不定桁架的應變能、余能分別為

采用式(52)的應變能表達式構造拉格朗日函數要注意：由于求材料非線性靜不定桁架桿件拉壓力時應變ε 對桿件拉伸和壓縮狀態均取絕對值，且桁架計算一般假定材料非線性靜不定桁架桿件內力全部為拉力，因此，采用應變能表達式求桿件拉壓力時，Ni也要取絕對值，否則，求出來的桿件拉壓力有可能是復數。使用式(52)所示余能表達式計算材料非線性靜不定桁架位移時，不能將桿件拉壓力取絕對值，應直接代入桿件拉壓力Ni的真實值。

3.2靜不定桁架變形的求解

算例10 對于圖10 所示 k 個桿件節點匯交構成的材料非線性靜不定桁架，令桁架各桿截面積相同，以下算例類同。假定該材料非線性靜不定桁架的桿件內力全部為拉力，可得桁架節點平衡方程為：

可構造拉格朗日函數為

將式(54)對內力Ni求一階導數并令，可得

將式(55)代入式(53)求得 λ1和 λ2，再利用式(55)即可求得圖10 所示材料非線性靜不定桁架各桿件的拉壓內力。

圖10　k個桿件靜不定桁架Fig.10　Statically indeterminate truss with k-bar

以圖11所示非線性靜不定桁架為例，假設θ1=45°，θ2=90°，θ3=135°，α=90°，，l2=l，且各桿材料、面積相同。

由圖11可得桁架節點D點的平衡方程為

由式(56)可得

由圖11及式(57)可判斷圖11所示材料非線性靜不定桁架個桿件皆為拉力，利用式(55)和(56)可得：

由式(59)和(58)可以求得

在式(60)中，令 e 為1和2時的結果與文獻[14]中的結果完全一致。

圖11　3個桿件靜不定桁架Fig.11　Statically indeterminate truss with three bars

將式(60)代入式(52)中可得圖2所示材料非線性靜不定桁架的余能表達式為

利用式(61)將余能 U*函數對外力P求一階偏導數即可得到圖11所示材料非線性靜不定桁架節點 D 的水平位移為

算例11對于圖12所示材料非線性靜不定桁架，可假定該靜不定桁架桿件內力全部為拉力。設桁架桿件長度分別為。利用靜力平衡方程,可以求得圖3所示材料非線性靜不定桁架支承反力分別為。

圖126個桿件靜不定桁架Fig.12Statically indeterminate truss with six bars

利用桁架各節點的平衡方程,可得桁架各桿件內力為

對式(63)進行分析可知N6為拉力，N5為壓力，顯然N1和N2為壓力，N3和N4為拉力?？蓸嬙炖窭嗜蘸瘮禐?/p>

將式(64)對材料非線性靜不定桁架桿件的內力 N5和N6求一階導數且令一階導數等于0可得

此結果與文獻[10]中結果是一致的。

將式(66)代入式(52)可得圖12 所示材料非線性靜不定桁架的余能表達式為

利用式(67)把余能 U*函數對外力P求一階偏導數即可得到圖12 所示材料非線性靜不定桁架節點C 的水平位移為

4　討論與分析

由算例1至算例 6可知：計算平面、空間靜不定梁、圓弧形結構、剛架內力及約束反力，可利用靜不定結構的靜力平衡方程構造拉格朗日函數。

算例 7和算例8是外部靜不定桁架即外部靜不定桁架本身是靜定但由于支座約束反力作用使桁架變成靜不定。計算外部靜不定桁架各桿件內力時，若桁架各桿件內力用桁架支座反力全部表示出來，則可利用桁架的靜力平衡方程來構造拉格朗日函數；若桁架各桿件內力不用桁架支座反力全部表示出來，則可利用桁架中除支座節點以外的其他各節點處靜力平衡方程來構造拉格朗日函數。

算例10至算例12中的內部靜不定桁架是指桁架本身靜不定。算例10 至算例11的桁架各桿件內力不能用桁架支座反力全部表示出來,計算內部靜不定桁架各桿件內力時，僅能利用除桁架支座節點以外的其他各節點處靜力平衡方程來構造拉格朗日函數。

由以上算例分析可知：計算靜不定梁、圓弧形結構、剛架內力及約束反力時，可利用靜不定結構的靜力平衡方程構造拉格朗日函數。靜不定結構的靜力平衡方程個數就是拉格朗日乘子 λj的個數。

計算匯交內部靜不定桁架各桿件內力時,僅能利用支座除桁架節點以外的其他各節點處靜力平衡方程來構造拉格朗日函數，匯交節點僅有 2個靜力平衡方程，匯交內部靜不定桁架拉格朗日乘子 λj的個數有2個。

計算外部靜不定桁架各桿件內力時，當桁架各桿件內力用桁架支座反力全部表示出來時，則可利用桁架的靜力平衡方程來構造拉格朗日函數，靜力平衡方程的個數就是拉格朗日乘子 λj的個數? 當桁架各桿件內力不用桁架支座反力全部表示出來時，可利用支座節點除外的桁架其他各節點處靜力平衡方程來構造拉格朗日函數,各節點處靜力平衡方程個數就是拉格朗日乘子 λj的個數。

從以上算例計算結果可以看出：本文方法還可以計算非線性材料桁架的內力和位移，所得計算結果精度很高，因為采用拉格朗日乘數法求解靜不定桁架內力所得到的結果是精確解析解；采用拉格朗日乘數法求解靜不定平面、空間靜不定梁、圓弧形結構、剛架內力、桁架內力的方法通用性較強，不但可以克服常規方法需利用幾何關系建立協調方程的缺陷,而且具有力學概念清晰直觀、計算過程簡潔、便于工程設計人員在實際中掌握和應用的優點，可以用來檢驗其他方法的計算精度。

文獻[3?4]利用位移法研究了超靜定桁架變形協調方程，文獻[5?6]本質上都是利用矢量分析法研究超靜定桁架變形協調方程，文獻[7?9]采用微分研究了超靜定桁架變形協調方程。以上方法全部依賴建立變形協調方程求解靜不定桁架內力。本文采用拉格朗日乘數法求解靜不定桁架內力的方法有固定規律可循，從真正意義上克服了依賴桁架桿件變形幾何關系求解靜不定桁架內力的困難。

5　結論

1)對采用拉格朗日乘數法求解靜不定桁架內力的問題進行了數學證明。

2)計算平面或空間靜不定梁、圓弧形結構、剛架內力及約束反力時，可利用靜不定結構的靜力平衡方程來構造拉格朗日函數。

3)求解內部靜不定桁架各桿件內力，僅能利用支座節點除外的桁架其他各節點處靜力平衡方程來構造拉格朗日函數。求解外部靜不定桁架各桿件內力時，若當桁架各桿件內力用桁架支座反力全部表示出來，則可利用桁架的靜力平衡方程來構造拉格朗日函數；若當桁架各桿件內力不用桁架支座反力全部表示出來時，則可利用支座節點以外的桁架其他各節點處靜力平衡方程來構造拉格朗日函數。

4)采用拉格朗日乘數法求解靜不定桁架內力的通用性較強，不但可以克服常規方法需利用幾何關系建立協調方程的缺陷,而且具有力學概念清晰直觀、計算過程簡潔、便于工程設計人員在實際中掌握和計算的優點，可以用來檢驗其他方法的計算精度。

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(編輯 陳燦華)

A general method of solutions for engineering statically indeterminate structure force

WU Xiao
(College of Mechanical Engineering,Hunan University of Arts and Science,Changde 415000,China)

Abstract:Force method and displacement method are usually adopted forCalculation of engineering statically indeterminate structure force in materials mechanics and structure mechanics.Because equilibrium state of statically indeterminate structure is a stable one under external load,there are the minimum values for strain energy.Based on the extra restraint force of statically indeterminate structure,the expression of strain energy was presented.With the introduction of Lagrange multiplier andCombined with the static equilibrium equation,the Lagrange function was established.The values of first derivative of Lagrange function were set as 0,and the force values of statically indeterminate structure were gotten.The results show that this method is suitable for the solution of restraint reaction,force and displacement for plane statically indeterminate(or space statically indeterminate),arc structure,steel frame and truss(including nonlinear material).The method of Lagrange multiplier for the solutions of statically indeterminate truss forceCan be widely applied.It overcomes the defects of establishingCoordinate equations by the geometry relations in regular method.The forceConcept isClear,theCalculation is simple and it is easy to be mastered by the engineering technician.As the analytical solution is accurate,itCan be used toCheck theCalculation accuracy obtained by other methods.

Key words:statically indeterminate? structure? force? equilibrium? Lagrange function

中圖分類號：O342

文獻標志碼：A

文章編號：1672?7207(2016)01?0262?11

DOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2016.01.036

收稿日期：2015?01?12；修回日期：2015?03?22

基金項目(Foundation item)：湖南省科技計劃項目(2011SK3145)；湖南“十二五”重點建設學科項目(湘教發[2011]76 號)；湖南省自然科學基金資助項目(2015JJ6073)(Project(2011SK3145)supported by the Science and Technology Plan of Hunan Province；Project([2011]76)supported by the Hunan“Twelfth Five Year Plan” KeyConstruction? Project(2015JJ6073)supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province)

通信作者：吳曉，教授，從事結構振動理論研究；E-mail: wx2005220@163.com