高中數學函數極限證明的例題梳理

■江漢大學　馮　青

?

高中數學函數極限證明的例題梳理

■江漢大學馮青

函數是被廣泛應用的數學概念，在自然科學、工程技術，甚至某些社會科學中都會認識到函數。研究高中數學函數不等式證明的方法是極限。無論是再中學數學還是在大學數學中，極限的概念和思想都非常重要，從量變中認識質變，都要用到極限。我們還能夠通過極限研究函數的連續性、可導性、收斂性等概念。因此極限概念是研究函數的重要概念，具有一定的理論意義和現實意義。本文梳理了極限概念，歸納總結了部分求極限的方法，在進行不等式極限求解的過程中，巧妙地運用了高中數學中相關的理論知識，達到鞏固、復習，培養學生一題多解的思維能力，并希望能把極限的思想運用到更廣泛的領域。

一、辨析概念，夯實基礎

極限思想作為研究函數最基本的方法，早在古代就有比較清楚的描述。中國魏晉時期杰出的數學家劉薇于公元263年創立了“割圓術”，就是使用了極限的思想。在近代數學許多分支中一些重要的概念與理論都是極限和連續函數概念的推廣、延拓和深化。在19世紀，柯西根據微積分研究的需要改進了極限方法。近年許多專家學者對函數極限的計算方法作了研究，并取得了一定的突破。房俊、李廣民研究了用中值定理求函數極限的方法；曹學鋒、孫幸榮討論了利用無窮小量計算函數的極限。極限思想在高中數學函數中的應用越來越大。

眾所周知，常見的求極限的方法包含無窮小量、重要極限公式、洛必達法則等。但實際在求極限時并不是依靠單一方法，而是把多種方法加以綜合運用。前人在對求函數極限的方法大多是單一的，沒有一個對求函數極限的方法進行全面的歸納總結。對函數極限求解方法的討論是本文的核心點，本文通過一些典型例題來討論求函數極限的解法并加以綜合運用。這就需要學生牢固地掌握求極限的方法并對函數極限的方法加以歸納、總結，希望對初學者有所幫助。

二、重點總結

筆者通過查閱資料總結出各種求函數極限的計算技巧，然后結合具體的例子給出這些計算技巧的具體應用，最后對內容進行整合。常見的求極限的方法有定義法、利用極限四則運算、利用夾逼性定理求極限、利用兩個重要極限求極限、用洛必達法則、用定積分求極限、利用無窮小量性質和無窮小量與無窮小量之間的關系、利用變量替換等等方法求極限。此外，數學歸納法也是常見的方法之一。

（一）定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數學》函授教材，這里不一一敘述）。

說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：

（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。

（二）極限運算法則

定理1 已知limf（x），limg（x）都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim［f（x）±g（x）］=A±B

（2）limf（x）·g（x）=A·B

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。

（三）兩個重要極限

說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，

（四）等價無窮小

定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。

定理3 當x→0時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：

X～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～1n（1+x）～ex-1。

說明：當上面每個函數中的自變量x換成g（x）時（g（x）→0），仍有上面的等價關系成立，例如：

當x→0時，e3x-1～3x；1n（1-x2）～-x2。

定理4 如果函數f（x），g（x），f1（x），g1（x）都是x→x0時的無窮小，且f（x）～f1（x），g（x）～g1（x），則當存在時，也存在且等于，即

三、舉例解析

極限在高中數學中的應用十分常見，本文現擬從以下幾個例題來探討求函數極限的方法。

（一）分類討論求極限

例已知數列an｛｝bn｛｝、都是由正數組成的等比數列，公比分別為p，q，其中p＞q，且p≠1，q≠1，設cn=an=bn，Sn為數列Cn｛｝的前n項和，求

分兩種情況討論；

（2）當p＜1時，∵0＜q＜p＜1，

說明：先化簡，再求極限是求極限經常用到的方法，該題考查了數列的基礎知識、恒等變形的能力，分類討論的數學思想方法和求極限的方法。

（二）自變量趨向無窮時函數的極限

例求下列極限：

分析：第（1）題中，當x→∞時，分子、分母都趨于無窮大，屬于“”型，變形的一般方法是分子、分母同除以x的最高次冪，再應用極限的運算法則.

（三）無窮減無窮型極限求解

例求極限：

分析：含根式的函數求極限，一般要先進行變形，進行分子、分母有理化，再求極限。

（四）利用運算法則求極限

例計算下列極限：

說明：該題計算時，要先求和，再求所得代數式的極限，不能將只適用有限個數列的加、減、乘、除的數列極限的四則運算法則，照搬到無限個數列的加、減、乘、除。

（五）用二項式定理展開或逆用等比數列和公式化簡求極限

例設p∈N*，求

或：逆用等比數列求和公式：

（六）零乘無窮型轉化為無窮除無窮型

分析：當n→∞時，所求極限相當于0·∞型，需要設法化為我們熟悉的型.

說明：對于這種含有根號的0·∞型的極限，可采取分子有理化或分母有理化來實現.如本題是通過分子有理化，從而化為，即為型，也可以將分子、分母同除以n的最高次冪即，完成極限的計算.

（七）零比零型的極限

說明：本題采用的換元法是把x→0化為y-1→0，這是一種變量代換.靈活地運用這種代換，可以解決一些型的極限問題.

（八）利用數學歸納法求極限

歸納法包含不完全歸納法和完全歸納法。

①不完全歸納法：根據事物的部分（而不是全部）特殊事例得出一般結論的推理方法。

②完全歸納法：根據事物的所有特殊事例得出一般結論的推理方法。

數學歸納法常與不完全歸納法結合起來使用，用不完全歸納法發現規律，用數學歸納法證明結論。

例若數列｛an｝的通項an=2n-1，設數列｛bn｝的通項bn=1+，又記Tn是數列｛bn｝的前n項的積.

（Ⅰ）求T1，T2，T3的值；

（Ⅱ）試比較Tn與的大小，并證明你的結論.

分析與證明：

（1）∵an=2n-1

假設n=k（k≥1）時，原不等式成立，即

當n=k+1時，不等式左邊為

即n=k+1時不等式也成立，∴對于n∈N，則有

說明：數學歸納法步驟如下

①驗證當取第一個時結論成立；

②由假設當（）時，結論成立，證明當時，結論成立；

根據①②對一切自然數時，都成立。

四、總結

在學習數學的過程中，敢于探索，善于總結，是我們學習數學必須具備的素質。本文只是舉例說明了在極限中證明中常用的幾種方法的運用，另外還有很多其它方法可以靈活綜合的解決問題，這需要我們平時多觀察和總結。同時，我們需要在解題時能舉一反三，從概念出發深入分析極限與函數在數學中的應用。

極限是數學中不可缺少的工具之一，它在解決一些數學問題中具體所體現出來的作用值得我們去思考，掌握好這個工具，對學好這門內容抽象邏輯性強的高等數學具有一定的幫助。

責任編輯鄭占怡