關(guān)于單模的頂點(diǎn)和核的一點(diǎn)注記

胡嘯晗，杜　妮

(廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門(mén)361005)

關(guān)于單模的頂點(diǎn)和核的一點(diǎn)注記

胡嘯晗，杜妮*

(廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門(mén)361005)

摘要：設(shè)G為有限群,k是特征為p的代數(shù)閉域(p>0).另設(shè)S是單kG-模,V(S)是S的一個(gè)頂點(diǎn),Ker(S)是S的核.在本文中,若Op′(G)?Z(G)且每個(gè)屬于主p-塊的單kG-模S均有V(S)?Ker(S),則對(duì)每個(gè)x∈G,令Q=P∩Px,G中存在一個(gè)包含Op′(G)的正規(guī)子群H,滿足Q∈Sylp(H)且|NH(Q)/Q|=|Op′(G)|.另外,設(shè)B為G的一個(gè)p-塊,得到了B為p-根塊的一個(gè)充分條件.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)文?頂點(diǎn);核;p-根塊

1背景和主要結(jié)論

在本文中,恒設(shè)G為有限群,k是特征為p的代數(shù)閉域(p>0),P是G的一個(gè)Sylowp-子群.另外,文中提及的模均為有限生成左模.

Motose等提出了p-根群的概念.若(kP)G是半單的,其中kP是平凡的kP-模,則稱G是一個(gè)p-根群.為了研究p-根群與p-冪零群之間的關(guān)系,Tsushima提出了p-根塊的概念.稱G的一個(gè)p-塊B為p-根塊,若eB(kP)G是半單的,其中eB是對(duì)應(yīng)B的塊冪等元.在這兩個(gè)概念提出之后,許多數(shù)學(xué)家對(duì)p-根群進(jìn)行了深入研究,并取得了大量成果[1-4].特別地,Feit對(duì)p-根群進(jìn)行了詳細(xì)的介紹(見(jiàn)文獻(xiàn)[5]的第6章第6節(jié)).

設(shè)S是單kG-模且P(S)={H≤G|S是kH-投射模}.稱V(S)是S的一個(gè)頂點(diǎn),若V(S)是子群集P(S)中的極小元(見(jiàn)文獻(xiàn)[5]中第3章第4節(jié)).設(shè)Ker(S)={x∈G|xv=v,對(duì)任意v∈S}是S的核.在本文中,我們考慮如下條件:

V(S)?Ker(S).

(1)

Hida討論了: 對(duì)每個(gè)單kG-模S,S均滿足條件(1)的情形,并對(duì)群G給出了一個(gè)抽象群的刻畫(huà).

受文獻(xiàn)[6]的啟發(fā),我們考慮: 對(duì)每個(gè)屬于主p-塊的單kG-模S,S均滿足條件(1)的情形,并將文獻(xiàn)[6]中結(jié)論推廣到G的主p-塊上,得到了如下結(jié)論.

定理1若G滿足如下兩個(gè)條件:

(i) Op′(G)?Z(G).

(ii) 對(duì)每個(gè)屬于主p-塊B0的單kG-模S,均有V(S)?Ker(S).

則對(duì)于每個(gè)x∈G,令Q=P∩Px,G 中存在一個(gè)包含Op′(G)的正規(guī)子群H,……