在探究中積累數學建模活動經驗

李海東 印建鳳

數學建模是學生用數學工具解決實際問題的重要手段之一。“就許多小學數學內容而言，本身就是一種數學模型……我們每堂課都在建立數學模型。”（張奠宙語）幫助學生積累數學活動經驗，是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的“四基”要求之一。因此，教師不僅要引導學生構建數學模型，還要幫助學生不斷積累數學建模活動經驗。所謂數學建模活動經驗，就是學生從已有生活經驗、知識經驗和活動經驗出發，把實際問題抽象成數學模型過程中所形成的經驗。教學時，教師要根據學生年齡特點，恰當應用行為主義學習理論中的接近原理、重復原理和強化原理，努力引導學生充分經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理和驗證等探究活動過程，幫助學生在知識形成過程中積累數學建模活動經驗。

一、嘗試比較中接近建模經驗

心理學研究表明，學生的數學學習都是基于他們自身經驗、用自己的獨特思維方式進行意義建構的過程。《義務教育數學課程標準（2011版）》認為“有效的數學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有知識經驗的基礎上”，并且要求教師“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型的過程”。因此，教師可以結合教學內容，根據接近原理（刺激情境與合乎要求的反應一起出現），精心創設學生熟悉的、有意義的問題情境，激活學生已有的知識經驗和數學建模活動經驗，為學生形成新的建模經驗做好知識準備和經驗準備。

教師先出示一個釘子板，告訴學生釘子板上相鄰兩個釘子之間相距1厘米，然后在釘子板上用毛線圍一個規則的多邊形（如梯形），引導學生嘗試說出多邊形的面積。有的學生開始計算多邊形的面積，有的學生開始用公式或割補法計算多邊形的面積，有的學生有點懵懂無知……當他們還沒有結果時，教師隨手寫出一個數字，問學生答案是否正確。等了一會兒，才有個別速度快的學生認可了教師的答案。多數學生很驚訝，有個別學生認為那個圖形是老師圍的，也許老師事先計算過。于是，教師現場指定學生在釘子板上圍一個任意多邊形，并且告訴學生：為了研究方便，可以用點陣圖代替釘子板圍多邊形。教師隨即把學生所圍圖形畫到點陣圖上（圖1），再引導學生自主探究它的面積，自己故意等會兒說出答案。

學生們好不容易才得到結果，但教師的答案不但迅速而且正確，他們的疑問隨即產生——老師怎么這么快？難道老師有秘密“武器”？

學生曾有過用點陣圖探究不同多邊形之間面積關系的經歷，并積累了一些用點陣圖建模的經驗。創設師生比賽的情境，能有效激活學生已有的知識經驗和建模經驗；比較師生的面積結果后，學生的好奇心就會發生作用，就能有效激發他們的探究欲望。因此，引導學生在嘗試比較中發現真實、可靠的問題背景，有助于把學生的思維接近要建構的數學模型，從而為學生積累新的建模經驗奠定有效基礎。

二、猜測驗證中形成建模經驗

根據直覺感知進行猜測和驗證是學生最常用的探究方法之一。直覺感知越豐富，學生所形成的表象越具體，就越容易構建數學模型。“數學首先是猜想，然后才是證實。”學生的合理猜想都是他們積極思維的結果，他們為了驗證自己的猜想是否正確，往往會積極思維、主動探究。因此，教師要有的放矢地引導學生在猜想和驗證中經歷知識的形成過程，促使學生形成新的建模經驗。

教師指著師生競賽的圖形引導學生說說想研究的內容時，有的想探究教師知道多邊形面積的“秘密”，有的想探究釘子板上多邊形的面積與什么有關……猜測影響多邊形面積的因素時，有的學生根據直覺認為多邊形面積和釘子總數有關，有的學生根據直覺認為多邊形面積和它邊上的釘子數有關，有的學生根據直覺認為多邊形面積和它內部的釘子數有關。教師出示四個圖形（如圖2）后，學生通過直接根據多邊形面積公式計算（多邊形①②④）

或者把圖形割補計算（多邊形③），或者用計數等方法得出它們的面積分別是2平方厘米、3平方厘米、3.5平方厘米和4平方厘米。師生一起數出多邊形邊上的釘子數分別是4枚、6枚、7枚和8枚時，有些眼疾手快的學生邊數邊猜測多邊形面積和它邊上的釘子數之間可能有聯系。經過討論和交流，大家發現了多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數÷2，如果用n表示多邊形邊上釘子數，用S表示多邊形面積，它們的關系就是S=n÷2。初步構建模型水到渠成。應用模型時，教師要求學生各自在點陣圖中畫圖驗證，學生發現所構建的模型只適用于某些圖形（如圖3中的多邊形③），但對圖3中其它多邊形不適用。反思觀察圖2時，

學生發現圖中的多邊形內都只有一枚釘子，圖3中“模型失靈”的多邊形內至少有2枚釘子，而多邊形③內只有一枚釘子，因此，模型適用。學生由此想到了所構建模型的前提條件——多邊形內的釘子數只有1枚。即a=1時，S=n÷2（a表示多邊形內的釘子數）。

在猜測驗證的探究過程中，學生不但構建了一個結論性模型S=n÷2，而且構建了一個探究的過程性模型——用猜想驗證進行探究的活動程序和方法模型，并在應用模型的過程中發現了所構建模型的局限性。這樣，學生就初步形成了一個新的建模經驗——應用猜測驗證的方法進行探究有助于構建數學模型，但構建的數學模型可能會有一定的前提條件。

三、類比歸納中提升建模經驗

法國數學家拉普拉斯認為，“在數學里發現真理的工具也是歸納和類比。”歸納推理是從個別到一般、從實驗事實到理論的一種推理方法；類比推理是由特殊到特殊的一種推理方法。這兩種推理方法都是學生構建數學模型的重要方法。教師可以根據教學需要，充分應用重復原理（要使學生學習進步并且長期保持，刺激和它的反應需要重復），引導學生在類比和歸納中“重復”經歷模型的構建過程，促進學生提升數學建模活動經驗。

學生觀察圖3中多邊形內有2枚釘子的圖形后，通過計算發現：多邊形④邊上的枚子數是8，面積是5平方厘米；多邊形⑤邊上的枚子數是4，面積是3平方厘米；多邊形⑥邊上的枚子數是3，面積是2.5平方厘米。學生根據剛構建的過程性模型和結論性模型很快類推出a=2時，S=（n+2）÷2或S=n÷2+1。師生在討論中把它們統一成“a=2時，S=n÷2+1”。分組探究多邊形內有3枚、4枚和5枚釘子，它們的面積與邊上釘子數的關系時，學生很快通過類比發現：a=3時，S=n÷2+2；a=4時，S=n÷2+3；a=5時，S=n÷2+4。隨后，學生又類比出：a=6時，S=n÷2+5；a=10時，S=n÷2+9；a=100時，S=n÷2+99；a=0時，S=n÷2-1。最終，學生借助歸納，構建出統一的數學模型——S=n÷2+a-1。

構建“S=n÷2+1”的模型時，學生形成的建模經驗是多邊形的面積不僅和它邊上的釘子數有關，而且與它內部的釘子數也有關；類比構建新模型的過程是學生“重復”建模的過程，也是學生“重復”形成建模經驗的過程。隨著建模經驗的逐漸增多，學生最終借助歸納構建了統一的數學模型S=n÷2+a-1，從而有效提升了建模活動經驗——構建的模型形式似乎不同，但本質一致。

四、反思內化中強化建模經驗

學生不斷形成的數學建模經驗具有個體性特點，只有他們積極對自己的個體體驗進行反思和交流才能有效內化和積累數學活動經驗。因此，教師要恰當應用強化原理（在新的行為學習后出現令人滿意的事態伴隨其后，學習效果會增強），為學生留足充分反思、交流、總結和拓展的時間，讓學生在反思知識的形成過程后及時交流，并適當評價，促進學生的思維發生碰撞，幫助學生把零散、未經提煉的個體活動體驗在內化中有效實現條理化和顯性化，達到幫助學生強化建模活動經驗的目的。

總結時，教師先引導學生應用所構建的模型解決圖1中多邊形面積的問題（5平方厘米），提高學生學以致用的能力，并適當評價，接著用課件介紹“皮克定理”，鼓勵學生課后通過上網或閱讀繼續探究，再引導學生回顧建模過程，交流學習收獲。學生回顧自己從簡單問題入手，通過畫、數、算等方法在探究中構建模型、統一模型的過程，有助于他們在自主反思和回顧交流中，把自己探究過程中所形成的建模經驗數學化，促使學生在個體經驗內化過程中有效強化。

總之，學生建模活動經驗的積累，是他們不斷經歷和體驗各種數學活動過程的結果，是他們不斷“做”數學和“思考”數學的結果。教師有的放矢地創設與預期教學目標接近的情境，引導學生在探究中充分經歷建模過程、形成建模經驗，并且有的放矢地促進學生對形成的經驗進行必要“重復”、反思和內化，有助于學生積累建模活動經驗。