從弧度制的引入和對(duì)數(shù)的發(fā)明談起

常永興 劉旭東 楊杰

半個(gè)多世紀(jì)以前，著名數(shù)學(xué)家柯朗（R.Courant）在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中寫(xiě)道：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī)。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過(guò)分專門化和過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì)，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。教師、學(xué)生和一般受過(guò)教育的人都要求有一個(gè)建設(shè)性的改造，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，是科學(xué)思考與行動(dòng)的基礎(chǔ)。”

和所有文化現(xiàn)象一樣，數(shù)學(xué)文化直接支配著人們的行動(dòng)。孤立主義的數(shù)學(xué)文化，一方面拒人于千里之外，使人望數(shù)學(xué)而生畏；另一方面又孤芳自賞、自言自語(yǔ)，令人把數(shù)學(xué)家當(dāng)成“怪人”。學(xué)校里的數(shù)學(xué)，原本是青少年喜愛(ài)的學(xué)科，卻成為過(guò)濾的“篩子”、打人的“棒子”。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化，會(huì)是美麗動(dòng)人的數(shù)學(xué)王后、得心應(yīng)手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進(jìn)的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)教學(xué)會(huì)變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。

下面從弧度制的引入和對(duì)數(shù)的發(fā)明方面談?wù)剶?shù)學(xué)發(fā)展的相關(guān)歷程，期待學(xué)生能從中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思維的魅力。

一、弧度制的引入

阿耶波多（Aryabhata Ⅰ，476—550年）是現(xiàn)在知道的印度最早的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，1976年，為紀(jì)念阿耶波多誕生1500周年，印度發(fā)射了以阿耶波多命名的第一顆人造衛(wèi)星。他只有一本天文數(shù)學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書(shū)》（499）傳世。該書(shū)突出的地方在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn)。

改進(jìn)主要有：

①把半弦與全弦所對(duì)弧的一半相對(duì)應(yīng)（如圖1），成為今天的習(xí)慣。

②引入了弧度制

阿耶波多將圓周分為360度，又采用60進(jìn)制將1度分為60分，這樣將整個(gè)圓周分為21600分。再由2πr=21600，可得半徑r=3437.747（取圓周率π≈3.1416），定義取整定半徑為r=3438分，這樣就統(tǒng)一了半徑和圓弧之間的單位。原來(lái)托勒玫（古希臘）三角學(xué)中有兩套單位。30度弧對(duì)應(yīng)的弦值是30個(gè)半徑單位（半徑長(zhǎng)的1/60為一個(gè)單位），30度是圓弧的單位。1度是圓周之后，3°45′=225分，因而引入了弧度制。

現(xiàn)代弧度制是歐拉在《無(wú)窮小分析引論》（1748）中倡導(dǎo)的，他是以半徑為單位1來(lái)當(dāng)統(tǒng)一單位，這樣圓周為2π單位。

③他還給出了第一象限內(nèi)間隔3°45′（即 ）的正弦差值表。如sin30°=1719，sin45°=2431等。

弧度制的精髓就在于統(tǒng)一了度量弧（后來(lái)的角）與半徑的單位，從而大大簡(jiǎn)化了有關(guān)公式及運(yùn)算。

二、對(duì)數(shù)的發(fā)明

9710.3265÷2.1829=？

沒(méi)有什么比大數(shù)的乘、除、開(kāi)平方或開(kāi)立方運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛，更阻礙計(jì)算者了。這不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且容易出錯(cuò)。因此，我開(kāi)始考慮怎樣消除這種障礙，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思索，我終于找到了一種漂亮的簡(jiǎn)短法則……——《奇妙的對(duì)數(shù)定理說(shuō)明書(shū)》

1614年，蘇格蘭的貴族數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定理說(shuō)明書(shū)》小冊(cè)子，給出了一種新的計(jì)算乘法的方法，即對(duì)數(shù)方法：如若計(jì)算y1，y2，先把y1，y2寫(xiě)成y1=a ，y2=a 的形式，其中a=107，e為自然對(duì)數(shù)的底，再求x1+x2，然后計(jì)算a2 即可。

書(shū)中借助運(yùn)動(dòng)學(xué)，用幾何術(shù)語(yǔ)闡述了對(duì)數(shù)方法。如圖2，假定兩點(diǎn)P，Q以相同的初速度運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)Q沿直線CD作勻速運(yùn)動(dòng)，CQ=x；點(diǎn)P沿直線AB（長(zhǎng)度為107單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離（PB=y）。令P與Q同時(shí)分別從A，C出發(fā)，那么，定義x為y的對(duì)數(shù)。后人稱為納皮爾對(duì)數(shù)：Naplog。利用對(duì)數(shù)，納皮爾制作了0°～90°每隔1′的正弦的對(duì)數(shù)。

納皮爾對(duì)數(shù)方法公布之后，引起了很多人的興趣，認(rèn)為此方法可以很好地解決大數(shù)乘法問(wèn)題，因而傳播開(kāi)來(lái)。

沒(méi)過(guò)多久，英國(guó)數(shù)學(xué)家布里格斯（H.Briggs 1561—1631年）與納皮爾合作，又將納皮爾方法中的自然常數(shù)e改成了10，這樣就更方便了，因而產(chǎn)生了我們今天的常用對(duì)數(shù)。

常用對(duì)數(shù)是如此好用，以至于不久就被廣泛用到了當(dāng)時(shí)的天文學(xué)中，后來(lái)拉普拉斯曾說(shuō)：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞動(dòng)力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命。”阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對(duì)數(shù)被稱作數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明。

注：本文系淄博市市級(jí)課題高中數(shù)學(xué)“基于數(shù)學(xué)文化的高中新授課教學(xué)研究與實(shí)驗(yàn)”課題研討會(huì)專題發(fā)言稿。

作者簡(jiǎn)介：常永興，男，中學(xué)一級(jí)教師，學(xué)士學(xué)位，淄川區(qū)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，淄川區(qū)教學(xué)能手，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考編輯部第十屆“解題教學(xué)高級(jí)研討班”學(xué)員，現(xiàn)參與市級(jí)課題高中數(shù)學(xué)“基于數(shù)學(xué)文化的高中新授課教學(xué)研究與實(shí)驗(yàn)”。

？誗編輯 溫雪蓮