碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度可靠性及其靈敏度分析

王海芳, 張 恒, 皇甫一樊, 褚天爭, 童曉穎

(1.東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004; 2.秦皇島福電實(shí)業(yè)集團(tuán)有限公司工程部,河北 秦皇島 066000)

碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度可靠性及其靈敏度分析

王海芳1, 張 恒1, 皇甫一樊1, 褚天爭1, 童曉穎2

(1.東北大學(xué)秦皇島分校控制工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004; 2.秦皇島福電實(shí)業(yè)集團(tuán)有限公司工程部,河北 秦皇島 066000)

運(yùn)動(dòng)精度是評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)質(zhì)量的重要考核指標(biāo).針對(duì)碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu),運(yùn)用矩陣法建立了機(jī)構(gòu)輸入,輸出關(guān)系的運(yùn)動(dòng)精度分析模型.在考慮了基本尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差的基礎(chǔ)上,運(yùn)用二階矩和攝動(dòng)法給出了碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性的設(shè)計(jì)方法,并結(jié)合算例求出了不同間隙誤差情況下機(jī)構(gòu)位置精度的可靠性指標(biāo),并計(jì)算出其可靠度.結(jié)合可靠性的分析結(jié)果,運(yùn)用可靠性靈敏度技術(shù)在算例中給出了碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)各隨機(jī)參數(shù)可靠性靈敏度的變化規(guī)律.

碼垛機(jī)器人; 連桿機(jī)構(gòu); 運(yùn)動(dòng)副間隙; 尺寸誤差; 可靠性; 靈敏度

碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性的高低會(huì)直接影響機(jī)器人的正常使用.影響機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性的因素有很多,常見的有尺寸加工誤差、彈性變形和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差等.國內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的可靠性問題進(jìn)行了很多研究.

文獻(xiàn)[1]以矩陣法建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度誤差分析模型.文獻(xiàn)[2]通過對(duì)6_PUS并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)誤差運(yùn)用單支鏈D-H參數(shù)方法和攝動(dòng)法進(jìn)行建模,得到了典型運(yùn)動(dòng)模式的誤差變化規(guī)律.文獻(xiàn)[3-5]探討了運(yùn)動(dòng)副間隙誤差對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出精度的影響.文獻(xiàn)[6-7]分別對(duì)3-CRPa純移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)和3SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)特性的分析.文獻(xiàn)[8-9]對(duì)于平面連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性靈敏度進(jìn)行了設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[10-11]利用Edgeworth級(jí)數(shù)建立了不完全概率信息條件下的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能系統(tǒng)可靠性分析方法.

現(xiàn)有機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性理論大多著眼于機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度模型的仿真和考慮機(jī)構(gòu)部分影響因素的可靠性靈敏度設(shè)計(jì).本文在考慮連桿機(jī)構(gòu)的基本尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差兩方面因素的同時(shí),將連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度模型與可靠性理論相結(jié)合,對(duì)圖1小臂所在的碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)精度可靠性及可靠性靈敏度計(jì)算.

圖1 碼垛機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 The diagram of palletizing robot structure

1 機(jī)器人連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性模型

1.1 運(yùn)動(dòng)精度可靠性功能函數(shù)設(shè)計(jì)

機(jī)器人連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束方程的一般形式:

F(U,V,L)=0

(1)

式中

F=[f1,f2,…,fλ]T,具有λ個(gè)獨(dú)立的約束方程組;

U=[u1,u2,…,uλ]T,機(jī)構(gòu)的輸出參數(shù)矢量;

V=[v1,v2,…,vn]T,機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)矢量;

L=[l1,l2,…,lm]T,機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)矢量.

對(duì)方程組(1)微分[12],以增量形式表示:

(2)

式中,?F/?UT,?F/?VT和?F/?LT為雅克比矩陣.

僅考慮碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)誤差[13],即ΔV=0,由式(2)可解得的輸出誤差向量為:

(3)

式中,ΔL為構(gòu)件L的誤差向量.

為了使碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)能夠正常工作,必須使其輸出的運(yùn)動(dòng)誤差在允許的精度誤差范圍內(nèi),即

(4)

式中,

ε=[ε1,ε2,…,εn]T,為四桿機(jī)構(gòu)允許輸出運(yùn)動(dòng)誤差向量.

應(yīng)用二階矩和攝動(dòng)方法[14-18],構(gòu)建碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度功能函數(shù):

g(ε,ΔU)=ε-ΔU

(5)

四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)位置輸出誤差的允許值ε與實(shí)際輸出誤差ΔU是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其相關(guān)的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布.

定義四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的可靠性指標(biāo)為:

(6)

式中μg——功能函數(shù)的均值;

σg——功能函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差.則可靠度的一階估計(jì)量為:

R=Φ(β)

(7)

式中，Φ(°)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).

1.2 連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性靈敏度設(shè)計(jì)

對(duì)于碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu),根據(jù)可靠性靈敏度定義[18],即為可靠度對(duì)基本向量X=[δ,l1,…,ln]T的偏導(dǎo)數(shù):

(8)

式中

2 考慮基本尺寸誤差及機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副間隙誤差的四桿機(jī)構(gòu)可靠性分析

2.1 考慮基本尺寸誤差的四桿機(jī)構(gòu)可靠性分析

四桿機(jī)構(gòu)的基本尺寸誤差即各桿件的幾何長度誤差,主要是由于加工制造造成的.本節(jié)就連桿基本尺寸誤差對(duì)碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)可靠性的影響進(jìn)行分析.

如圖2所示為碼垛機(jī)器人的四桿機(jī)構(gòu)簡圖,以輸出角α2和α3為研究對(duì)象,則輸出向量為:U=[α2,α3]T,輸入向量V=α1,結(jié)構(gòu)參數(shù)向量:L=[l1,l2,l3,l4]T,各結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)滿足正態(tài)分布規(guī)律.

圖2 碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)Fig.2 Four bar linkage of palletizing robot

根據(jù)鉸接四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析,建立輸入與輸出關(guān)系模型:

(9)

四桿機(jī)構(gòu)輸出參數(shù)的雅克比矩陣:

四桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的雅克比矩陣:

由上述分析可將有關(guān)量代入相關(guān)公式可解出考慮基本尺寸誤差影響的平面四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度及可靠性靈敏度.

2.2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副間隙誤差理論

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副間隙誤差主要是由生產(chǎn)制造和不合理裝配以及運(yùn)動(dòng)副長時(shí)間運(yùn)行磨損造成的.Lee在1991年提出“有效長度模型”理論[19],對(duì)于鉸鏈?zhǔn)竭\(yùn)動(dòng)副建立了可靠性分析模型.如圖3所示即為鉸鏈連接示意圖.銷軸的中心在誤差圓范圍內(nèi)隨機(jī)分布.誤差圓半徑由套孔直徑和銷軸直徑差來決定.

圖3 關(guān)節(jié)鉸接示意圖Fig.3 Diagram of hinge joint

圖4為鉸鏈運(yùn)動(dòng)副有效連接示意圖,設(shè)P為套孔中心,C點(diǎn)是銷軸中心,連桿OP長為l.由于運(yùn)動(dòng)副間隙的影響,OC為有效連桿長度,設(shè)為R.由幾何關(guān)系得出:

(10)

式(10)中,x,y為銷軸中心的局域坐標(biāo).P為局域坐標(biāo)的圓心,x以O(shè)P方向?yàn)檎较?

Rc=(d套孔-d銷軸)/2

(11)

式(11)中,Rc為運(yùn)動(dòng)副的徑向誤差,也即誤差圓半徑.

圖4 運(yùn)動(dòng)副有效連接模型Fig.4 Kinematic pair effective connection model

對(duì)成批構(gòu)件抽樣后會(huì)發(fā)現(xiàn)距離O點(diǎn)長度為R的銷軸中心C是在半徑為Rc的誤差圓內(nèi)隨機(jī)分布的,也即x,y的分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,所以有:

E(x)=E(y)=0

(12)

又因?yàn)?

(13)

由概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)易得:

(14)

由式(11)和式(20)可得:

(15)

2.3 同時(shí)考慮基本尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差的四桿機(jī)構(gòu)可靠性分析

根據(jù)上述理論及其及其分析結(jié)果,推導(dǎo)同時(shí)考慮基本尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差兩種因素影響下的碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性及可靠性靈敏度計(jì)算方法.設(shè)桿l1,l2,l3,l4的有效長度為R1,R2,R3,R4,桿l1與機(jī)架支座之間的鉸鏈徑向間隙為RC1,l1與l2之間的鉸鏈徑向間隙為RC2,l2與l3之間的鉸鏈徑向間隙為RC3,l3與機(jī)架之間的鉸鏈徑向間隙為RC4.

根據(jù)上述理論,用有效長度R代替實(shí)際桿長,代入式(9),得:

(16)

由式(10)可得其均值滿足:

E2(R)=E2(l)+2E(l)E(x)+E2(x)+E2(y)

又由式(12)可得桿件有效長度和實(shí)際長度的期望值相同,即E(R)=E(l),所以同時(shí)考慮尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差情況下的輸出誤差期望和只考慮尺寸誤差時(shí)的期望相同,給定允許誤差不發(fā)生變化,可以得到用有效長度R代替桿長l后,對(duì)碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)輸出誤差的期望μg沒有影響.

同時(shí)考慮基本尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差的某一桿的有效桿長的運(yùn)動(dòng)精度輸出誤差的方差為:

(17)

式中D(ΔRi)——某一桿有效桿長的運(yùn)動(dòng)誤差方差;

li——某一桿的實(shí)際長度;

由式(4),式(15)和式(17)可得同時(shí)考慮基本尺寸誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙誤差的碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)輸出誤差的方差,即:

(18)

由上述分析,可計(jì)算出同時(shí)考慮兩種誤差因素影響下的碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度的可靠性設(shè)計(jì)方法,同時(shí)也可對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)精度可靠性靈敏度設(shè)計(jì).

3 數(shù)值算例

如圖2所示,已知碼垛機(jī)器人各桿件的幾何尺寸分別為:l1=300 mm,l2=700 mm,l3=500 mm,l4=600 mm.取差變系數(shù)c=0.005.碼垛機(jī)器人四機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出角度α3的誤差允許值δ=1.5°.求四桿機(jī)構(gòu)輸入角度α1在0～180°的變化范圍內(nèi)輸出角度α3≤δ時(shí)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度和可靠性靈敏度.

為了比較不同運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度的影響程度,設(shè)置了4 組不同的間隙數(shù)值進(jìn)行分析.表1中給出了碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)4種大小不同的運(yùn)動(dòng)副間隙的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,通過計(jì)算可以得到輸出角度誤差α3≤δ時(shí)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度曲線如圖5所示.

表1 四桿機(jī)構(gòu)4種運(yùn)動(dòng)副間隙的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Tab.1 Reliability of the four bar linkage motion accuracy

圖5 碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度可靠度曲線Fig.5 The motion precision reliability curve of palletizing robot

圖6 碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度可靠性靈敏度曲線Fig.6 The motion precision reliability sensitivity curve of palletizing robot

由圖5可知碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度可靠度在0-90°的變化范圍內(nèi),隨著輸入角度的增加而增加.而且可靠度隨著運(yùn)動(dòng)副間隙誤差的增大而降低.在90°-180°的范圍內(nèi)碼垛機(jī)器人運(yùn)動(dòng)精度保持高可靠度,運(yùn)動(dòng)副間隙誤差對(duì)其影響較小.

在可靠度的分析基礎(chǔ)上,為了分析四桿機(jī)構(gòu)各桿長參數(shù)對(duì)于碼垛機(jī)器人可靠性的影響程度可以由式(8)計(jì)算得到如圖6所示的不考慮運(yùn)動(dòng)副間隙誤差情況下的碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度R對(duì)基本隨機(jī)參數(shù)X=[δ,l1,l2,l3,l4]T的均值的可靠性靈敏度曲線.

從圖6中的靈敏度曲線可以看出隨著碼垛機(jī)器人輸入角度的不斷增加,桿長l1,l2,l3,l4的可靠性靈敏度絕對(duì)值和誤差允許值δ的靈敏度數(shù)值逐漸降低并在輸入角度接近90°的時(shí)候趨于0.由上述分析可知:適當(dāng)增加桿長l1及l(fā)2的均值可以提高四桿機(jī)構(gòu)的輸出位置精度可靠度;但增加桿長l3及l(fā)4的均值,將會(huì)使四桿機(jī)構(gòu)的輸出位置精度可靠度降低.

4 結(jié)論

(1) 通過對(duì)碼垛機(jī)器人四桿機(jī)構(gòu)輸入角度的運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析結(jié)果可知:碼垛機(jī)器人輸入角度在銳角的范圍內(nèi)變化時(shí),運(yùn)動(dòng)精度可靠度隨著輸入角度的增加而增加,此時(shí)運(yùn)動(dòng)副間隙誤差對(duì)其影響較大;在鈍角的范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)精度保持高可靠度;此時(shí)運(yùn)動(dòng)副間隙誤差對(duì)其影響較小,可忽略.

(2) 通過對(duì)碼垛機(jī)器人可靠性靈敏度曲線的分析可知適當(dāng)增加桿長l1及l(fā)2的均值可以提高四桿機(jī)構(gòu)的輸出位置精度可靠度;但增加桿長l3及l(fā)4的均值,將會(huì)使四桿機(jī)構(gòu)的輸出位置精度可靠度降低.

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Reliability and sensitivity analysis on motional precision for palletizing robots

WANG Hai-fang1, ZHANG Heng1, HUANGFU Yi-fan1, CHU Tian-zheng1, TONG Xiao-ying2

(1.College of Control Engineering,Northeastern University at Qinhuangdao,Qinhuangdao 066004,China;2.Engineering Department,Fortune Electrical Group,Qinhuangdao 066000,China)

Due that the motional precision is an important index for mechanism quality evaluation, a motional precision model, which reflects the relationship between inputs and outputs, is established via matrix method for four-bar linkage of palletizing robots. By considering the basic dimensional error and motional pair clearance error, the motional reliability is obtained based on the first-order second-moment and perturbation methods. The reliability index is plotted with variations of motional pair clearance errors. In combination with reliability and sensitivity analyses, the reliability variation is attained.

Palletizing robot; Linkage mechanisms; motional pair clearance; Dimension error; Reliability; Sensitivity

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475086),河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2012407010),秦皇島科技支撐項(xiàng)目(201501B011)

王海芳(1976-),男,副教授,E-mail:hfwang0335@126.com

TH 122, TP 242.2

A

1672-5581(2016)06-0475-06