回歸模型中異方差性的檢驗與消除研究

韓前菊

摘要：經典線性回歸模型的一個重要假設就是回歸方程的隨機擾動項，具有相同的方差，也稱同方差性。但在大多數經濟現象中，這種假設不一定成立，有時擾動項的方差隨觀察值的不同而變化，這就是異方差性。在經濟研究中，異方差性的存在使得回歸模型失效。本文以SPSS為分析工具，來研究回歸模型中異方差性檢驗和消除。

關鍵詞：異方差性 SPSS分析工具 異方差檢驗和消除一、引言

回歸分析是處理隨機變量之間的相關關系的一種統計方法。即研究一個被解釋變量與一個或多個解釋變量之間的統計關系。

異方差性會導致嚴重的后果，所以對異方差性的檢驗無疑是非常重要的。對異方差檢驗的方法有很多，如殘差圖分析法、等級相關系數法、格萊斯爾檢驗等等，本文采用殘差圖和等級相關系數法進行異方差性檢驗。

二、檢驗方法

（一）散點圖檢驗法

1、散點圖檢驗法以殘差e為縱坐標，以自變量為橫坐標畫散點圖。其中殘差e是指觀測值與預測值之間的差，即實際觀察值與回歸估計值的差。但需要指出的是，散點圖檢驗法只能粗略、簡單地判斷異方差的存在與否，要想準確判斷異方差是否存在，必須通過下面即將介紹到的等級相關系數法。

2、判定

當回歸模型滿足所有假定時，殘差圖上的幾個點的散布應是隨機的，無任何規律。此時隨機誤差項為齊性；如果回歸模型存在異方差，殘差圖上的點的散布呈現出相應的趨勢，e值會隨自變量值增大而增大或減小，有明顯的規律，這時可以認為模型的隨機誤差項為非齊性。

（二）等級相關系數檢驗法

Y關于X的回歸方程為：

等級相關系數：r|e|·x=1-6∑ni=1d2in（n2-1），其中，n為樣本容量，di為對應于xi和|ei|的等級的差數。對總體的等級相關系數ρ|e|·x進行假設檢驗：

1、假設：H0：ρ|e|·x=0H1：ρ|e|·x≠0

當n>8時，構造t檢測模型。

2、構造檢驗統計量：

t=re·xn-21-r2e·x～t（n-2）

3、給定顯著性水平α

4、確定臨界值：tα/2（n-2）

5、判定：

三、異方差消除方法

（一）加權最小二乘法

以一元線性回歸方程為例，yi=β0+β1xi+εi（1）

如已知εi的方差與解釋變量的某種函數成比例 ，即：Var（εi）=σ2εi=f（xi）σ2，其中，σ2是一個有限常數，若f（xi）=1時，εi具有同方差Var（εi）=σ2，若f（xi）≠1，則σ2=Var（εi）f（xi），其中f（xi）為大于0且不等于的值。對于上述模型，若滿足E（εi）=0，Var（εi）=σ2εi，則該回歸方程存在異方差。現用1f（xi）分別乘以該回歸方程，得到：

需要指出的是，加權最小二乘法可以減少一部分異方差的影響，有時候不能完全消除異方差，要和其他方法結合使用。

（二）方差穩定化變換

常見到方差穩定化變換有如下幾種：

（1）如果σ2i與E（Yi）存在一定的比例關系，使用y′=y

（2）如果σi與E（yi）存在一定的比例關系，使用y′=logy

（3）如果σi與E（yi）存在一定的比例關系，使用y′=1y

如選用了某種變換，得到y′，就可用OLSE（最小二乘估計）建立y′x與x的回歸方程。

參考文獻：

[1]宋廷山，李杰.回歸模型的異方差性消除方法探討[J].統計教育，2007.4.

[2]《經濟學中的統計方法》，王學仁，科學出版社，2000年

[3]《METLAB6刀與科學計算》，王沫然， 電子工業出版社，2001年