分式形式的函數求極限方法小結

黃玉蘭

摘 要：本文從分子分母的極限特點出發，總結了不同特點的分式形式的函數求極限的方法，并舉例進行了說明.

關鍵詞：分式；函數；極限

一、引言

極限是《高等數學》教材的一個重要知識點，分式形式的函數求極限是極限知識中的一個重點也是一個難點問題，在分式形式各異時，求極限的方法也不近一致，很多學生在遇到求分式形式的函數極限時，不知該用哪種方法來解答，甚至不知如何動手。本文從分子分母的極限特點出發，對分式形式的函數求極限方法進行了分類和總結。

二、方法分類

若 f（x）=A， g（x）=B （A，B為常數或） ，下面根據A，B的取值特點對分式 在x→x0時極限常見情況進行分類討論.

（1）當A，B均為常數，且B≠0時，由極限的運算法則有：

= = （B≠0）

（2）當A，B均為常數，且B=0而A≠0時，則有： =∞分析：由于分母為無窮小，分子極限為不等于0的常數，則無窮小的倒數為無窮大。

分析：分子極限為3，分母極限為0.

（3）當A=B=0時， 為 “ ”型的未定式，求極限方法還可細分：1） 當分子，分母可以因式分解約分化簡時，則考慮約分.例3、求 解： = = =6。2）當分子，分母中有根式時，則考慮有理化.例4、求 解： =lim = =。3）當分子上有與sinx聯系的三角函數且形式較簡單時，則考慮與第一個重要極限 =1的聯系，利用結論 =1求解.例5、求 解： = ×2=2。4）當分子分母滿足羅比達法則的三個條件時，則采用羅比達法則求解.例6、求 解： = = = （2+ ）

（4）當分子分母為無窮大時：1）滿足羅比達法則的三個條件時，考慮用羅比達法則求解.例7、求 解： = = = =0。2）分子，分母為x的多項式時，考慮用以下結論.一般地，當a0≠0，b0≠0，m和n為非負整數時，有 =

三、結語

對于形式為分式的函數求極限，一定要具體問題具體分析，根據分子，分母極限取值情況的特點來選擇合適的方法，應多練習以求熟能生巧，更應注重方法和方法的結合.

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2007：23-31.

[2] 周志燕，程黃金.高等數學[M].東北大學出版社，2014：11-15.