從運動變化的過程中尋找問題的答案

在近幾年全國各地的高考試題中，加大了對運用用數學思想方法解決問題的能力的考查，而函數的思想是數學思想方法的核心.從運動變化的觀點觀察問題、分析問題是函數思想的精髓.取值范圍問題和最值問題是我們經常遇到的問題，它更是高考考查的重要題型，這些問題中都含有變化的圖形或變化的量，研究它們的變化過程和變化規律，是解決這類問題的基本方法，這種從運動變化的觀點解決問題常常可以使解題過程更加簡捷直觀.

例1在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

分析：從條件看，四邊形ABCD的邊BC的長度和四個角的大小是確定的，而其它三邊的長度是變化的，我們可以讓點A、D動起來，觀察它們的變化規律.

解：如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合于E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BCsin∠E=BEsin∠C，即2sin30°=BEsin75°，解得BE=6+2，平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，BFsin∠FCB=BCsin∠BFC，即BFsin30°=2sin75°，解得BF=6-2，又因為ABCD是四邊形，所以AB的取值范圍為（6-2，6+2）.

例2已知OB=（2，0），OC=（2，2），CA=（2cosα，2sinα），則OA與OB夾角的取值范圍是.

分析：題中的點B、C是確定的，點A隨著α的變化而變化，故需研究點A的變化規律，即研究點A的軌跡.

解：因為|CA|=2，所以點A在以C為圓心，2為半徑的圓上運動，過原點作此圓的切線，那么得到兩條切線，這兩條切線的傾斜角分別為π4-π6=π12和π4+π6=5π12，從而向量OA與OB夾角的范圍是[π12，5π12].

例3滿足條件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面積的最大值為.

分析：如果固定點A、B，讓點C運動，建立適當的平面直角坐標系后可求出點C的軌跡方程，再用數形結合的方法就能求出三角形……