巴拿赫空間中斜演化半流的多項式漸近行為

岳　田 ，　劉開拓, 2，　雷國梁

(1.湖北汽車工業(yè)學院 理學院　湖北 十堰 442002；2.中南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院　湖南 長沙 410083)

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巴拿赫空間中斜演化半流的多項式漸近行為

岳田1，劉開拓1, 2，雷國梁1

(1.湖北汽車工業(yè)學院 理學院湖北 十堰 442002；2.中南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院湖南 長沙 410083)

摘要：給出了斜演化半流一致多項式穩(wěn)定和一致多項式不穩(wěn)定的一些充要條件,用所得結論推廣了已有結果.

關鍵詞：斜演化半流； 一致多項式穩(wěn)定性； 一致多項式不穩(wěn)定性； 多項式增長

0引言

近年來，利用斜演化半流來研究無限維空間中演化方程的漸近性質(zhì)取得了長足發(fā)展[1—3]．關于斜演化半流的概念首先由Stoica和Megan[4]引入，與演化算子、演化族、斜積流不同的是它依賴于三個變量，而其他僅依賴于兩個變量，因此利用斜演化半流來研究演化方程解的漸近行為更為合理，尤其是在指數(shù)穩(wěn)定性方面．如文獻[5]給出Banach空間中斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的性質(zhì)刻畫，并得到了相應性質(zhì)在一致集上的統(tǒng)一形式.文獻[6]利用Banach函數(shù)空間及Banach序列空間分別給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)與離散特征.文獻[7]給出了線性斜演化半流一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)及離散型Barbashin 定理.文獻[8]采用類似文獻[5]中的方法，研究了斜演化半流非一致指數(shù)穩(wěn)定的若干性質(zhì)．在指數(shù)不穩(wěn)定性方面，文獻[4]對斜演化半流的一致指數(shù)不穩(wěn)定性進行了研究，得到了相應的Datko型結論[9].文獻[10]給出了斜演化半流的弱指數(shù)膨脹性相關性質(zhì)，并利用Lyapunov函數(shù)來刻畫了弱指數(shù)膨脹的相關特征.

由于指數(shù)漸近行為的要求比較苛刻，因此有必要尋找更為一般的關于斜演化半流的其他漸近行為.文獻[11—13]針對演化算子提出了多項式穩(wěn)定的概念，并給出了相應特征刻畫.本文將在上述文獻的基礎上給出斜演化半流呈一致多項式穩(wěn)定與不穩(wěn)定的定義，并討論相關性質(zhì)，從而推廣了Datko[9], Stoica及Megan[5]等人的結論.本文所用方法與文獻[11]和文獻[12]中方法不同，分別利用斜演化半流的收縮性及擴張性來研究其一致多項式穩(wěn)定與不穩(wěn)定特性.

1預備知識

定義1[5—7]σ:T×Θ→Θ為Θ上的演化半流，如果滿足以下性質(zhì):

σ(t,t,θ)=θ, ?(t,θ)∈R+×Θ；

σ(t,s,σ(s,r,θ))=σ(t,r,θ), ?(t,s), (s,r)∈T, ?θ∈Θ.

定義2[5—7]如果σ為Θ上的演化半流且映射Φ:T×Φ→L(X)滿足如下條件：

Φ(t,t,θ)=I, ?(t,θ)∈R+×Θ；

Φ(t,r,θ)=Φ(t,s,σ(s,r,θ))Φ(s,r,θ), ?(t,s),(s,r)∈T, ?θ∈Θ；

Φ(·,·,θ)x連續(xù)，?(x,θ)∈ε．稱π=(Φ,σ)為ε=X×Θ上的斜演化半流.

定義3如果存在常數(shù)M,ω,λ>0使得

(1)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為是多項式增長的.

定義4若存在常數(shù)K,α,λ>0使得

(2)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為一致多項式穩(wěn)定的.

定義5如果存在常數(shù)K,α,λ>0使得

(3)

斜演化半流π=(Φ,σ)稱為一致多項式不穩(wěn)定的.

2主要結論

定理1 (收縮性)具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩(wěn)定的,當且僅當存在δ>0,r0>1,0

(4)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

(5)

又因為

利用式(1)、(4) 及(5)可知

故斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩(wěn)定的．

定理2具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩(wěn)定的,當且僅當對?x∈X，存在δ,β(x)>0使得

(6)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

設λ=δ,若t≤sδ，則有

(7)

進而由上式及式(5)可得

(8)

則由(6)式，對?x∈X有

故再次利用一致有界原理可得，存在常數(shù)L′>0使得

定理3具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式穩(wěn)定的,當且僅當存在δ,D>0使得

(9)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

設t≥s,若s≤t≤sδ，則有

(10)

(11)

定理4 (擴張性)具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式不穩(wěn)定的,當且僅當存在δ>0、r0、c>1使得對?s≥δ,x∈X有

‖Φ(r0s,s,θ)x‖≥c‖x‖．

(12)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

(13)

又因為

利用式(1)、式(12)可知

(14)

結合式(13)、(14)可得

故斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式不穩(wěn)定的．

定理5具有多項式增長的斜演化半流π=(Φ,σ)是一致多項式不穩(wěn)定的,當且僅當Φ(t,s,θ)為單射，?t≥s≥δ,θ∈Θ,且存在D>0使得

(15)

證明必要性顯然，下面證明充分性．

任取t≥s≥δ．由多項式增長性知對?τ∈[t,tδ]有

利用(15)式可得

參考文獻：

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[13]閆振海，劉再明，王帥鴿，等．一維非線性隨機微分方程的隨機指數(shù)穩(wěn)定性[J]．鄭州大學學報(理學版)，2015，47(2)：20—23．

(責任編輯：方惠敏)

Polynomial Asymptotic Behaviors of Skew-evolution Semiflows in Banach Spaces

YUE Tian1，LIU Kaituo1,2，LEI Guoliang1

(1.SchoolofScience,HubeiUniversityofAutomotiveTechnology,Shiyan,Hubei442002,China2.SchoolofMathematicsandStatistics,CentralSouthUniversity,Changsha,Hunan410083,China)

Abstract:Some necessary and sufficient conditions for uniform polynomial stability and uniform polynomial instability were given, respectively. Generalizations of some well-known results were obtained due to Datko, Stoica, Megan in the case of polynomial asymptotic of skew-evolution semiflows in Banach spaces.

Key words:skew-evolution semiflows; uniform polynomial stability； uniform polynomial instability； polynomial growth

收稿日期:2015-09-19

基金項目:湖北省自然科學基金資助項目(2014CFB629);湖北汽車工業(yè)學院校預研基金資助項目(2014XY06)．

作者簡介:岳田(1988—)，男，四川南江人，助教，碩士，主要從事微分系統(tǒng)定性理論研究，E-mail: ytcumt@163.com．

中圖分類號：O175.13

文獻標志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0041-04

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201509021

引用本文：岳田，劉開拓，雷國梁．巴拿赫空間中斜演化半流的多項式漸近行為[J]．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(1)：41—44.