基于EGARCH-GPD模型的滬深300指數的VaR度量

魏正元，李　娟，羅云峰

(重慶理工大學 數學與統計學院，重慶　400054)

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基于EGARCH-GPD模型的滬深300指數的VaR度量

魏正元，李娟，羅云峰

(重慶理工大學 數學與統計學院，重慶400054)

摘要：結合經典的EGARCH模型和基于廣義Pareto分布的極值理論，建立了一種新的EGARCH-GPD模型，并研究了新模型的動態VaR估計問題。滬深300指數VaR估計的返回測試結果表明：該EGARCH-GPD模型比傳統的基于正態分布的EGARCH模型能更好地刻畫金融數據分布的“厚尾”特征和波動率的時變性，在一定程度上提高了VaR估計的預測精度。

關鍵詞：EGARCH模型；廣義Pareto分布；POT；VaR；Kupiec失敗率檢驗

近年來，隨著信息技術的不斷發展，經濟和金融全球化的步伐不斷加快，金融市場的波動性日趨激烈，對國家、企業的影響也越來越大，因此金融風險管理已經為越來越多的公司、部門、機構所重視，金融風險管理技術也成為當前研究的熱點和難點。金融風險度量方法經過半個多世紀的發展已經取得了相當大的進步，尤其是隨著復雜數學方法的成功運用，國內外學者提出了許多度量風險的方法，其中以VaR(value at risk)的使用最為廣泛，其在現代金融風險管理中具有核心的地位。市場風險的VaR度量是指一個投資組合在某一給定的時間段內，以某個給定的概率α得到的所能承受的最大損失。換句話說，如果已知某一特定時間段內精確的 VaR，那么在這一時間段內發生比VaR更大的損失的概率就可以控制在α內。從統計學角度解釋，VaR即是一隨機變量的上側α分位數。

如何估計收益率序列的波動率是VaR估計的核心問題之一。目前，在金融計量中，收益率序列波動率的估計絕大部分基于以Bollerslev為代表的學者們提出的一系列GARCH族模型[1]，其基本思想是金融時間序列在大的波動后緊接著是更大的波動，其波動性隨時間的變化而變化[2]。Nelson[3]提出的EGARCH模型更體現了正和負的收益率的非對稱效應，在一定程度上更準確地描述和預測了金融資產收益的波動性。

GARCH族模型中所采用的信息分布多為參數分布，例如正態分布、學生t分布、廣義誤差分布等。分布假設的合理性將直接影響VaR估計的準確性[4]。近年來發展起來的極值理論預先對數據不做分布假定，直接對尾部進行建模，而VaR關注的也是資產損益的尾部特征，這在一定程度上增加了VaR預測的精度[5]。Danielsson[6]用極值理論對VaR進行計算，將其與基于經驗分布函數計算的VaR值進行對比，證明極值理論能有效提高VaR預測精度。Reiss[7]對極值理論在金融風險中的應用進行了具體的分析和論證。趙樹然、任培民[8]在極值理論的基礎上對參數進行了點估計，給出了 VaR 和CVaR的估計值，通過返回測試，證明了極值理論可以比較精確地度量VaR。在2012年的國際會議和金融工程中，WANG[9]進一步給出了基于極值理論的風險值估計的新方法。然而，極值理論的統計推斷大都要求樣本是獨立同分布的，而在實際研究中，樣本數據很難滿足這一要求[10]。MCNILE和FREY[11]在具體的研究中發現，金融數據的標準化殘差序列能有效滿足獨立、同分布的條件。

為對風險進行更加準確的度量，本文主要通過標準化殘差序列，將經典EGARCH模型和基于GPD的極值理論結合起來，建立動態VaR估計模型。

1極值理論

本文采用的極值理論為基于廣義Pareto分布的POT方法。該方法著重討論對某個閾值的超出量。

定理1對于一個遞增的閾值u，隨機變量X1,X2,…,Xn的超越量分布函數Fu可由GPD近似：

上式中的Gξ,σ即為如下的廣義Pareto分布(GPD):

(1)

其中σ>0，且當ξ≥0時，y≥0; 當 ξ<0 時，0≤y≤σ/ξ。這里 ξ 和 σ 分別是GPD的形狀參數和尺度參數。

對GPD的參數進行估計后，給定上尾概率p，VaR可以由式(2)估計[12]。

(2)

其中:N為樣本容量，即觀測的總次數；Nu為超越閾值 u的次數。

2EGARCH-GPD模型

為了在模型中刻畫正和負的資產收益率序列{rt,t=1,2,…}所引起的非對稱效應，也即所謂的“杠桿效應”，1991年Nelson 在GARCH模型的基礎上考慮加權的擾動，提出了如下的EGARCH 模型：

(3)

(4)

在EGARCH模型中，{εt}的分布無論是正態分布、學生t分布還是誤差分布，均存在分布假設所帶來的模型誤差，當假設與實際偏差較大時，會直接影響到VaR估計的準確性?？紤]到VaR的估計只涉及分布的尾部行為，而極值理論又可以在非參數的情況下對分布的尾部近似描述，因此本文在EGARCH模型的框架下，引入極值理論來描述{εt}分布的尾部行為，并借助GPD的VaR計算方法和EGARCH模型，實現基于EGARCH-GPD模型的VaR度量。

綜上，基于EGARCH-GPD模型的VaR度量的具體操作流程為：

1) 對收益率序列建立EGARCH模型，借助正態分布或標準化學生t分布的新息過程εt，并利用極大似然法對參數μ, ω, αi, βj進行估計。

2) 將參數的估計值代入式(4)，通過迭代的方法求出σt，再由

得到εt的近似估計序列，稱其為修正的殘差序列。

5) 根據VaR的正齊次性和平移不變性[13]，得到EGARCH-GPD模型的VaR估計量，即

3實證分析

3.1數據與樣本說明

本文采集的數據是滬深300指數2000-01-07—2015-04-03的日對數收益率，共計3 207個樣本見圖1。數據來源為銳思數據庫www.resset.cn。

圖1　滬深300指數從2000-01-07—2015-04-03的日對數收益率

表1列出了滬深300指數日對數收益率的基本統計量，峰度6.460 549>3，且其JB檢驗統計量的p值非常小，拒絕了正態性的原假設。

表1　滬深300指數日對數收益率序列的

3.2EGARCH模型擬合

從圖2可以看出：日對數收益率的樣本ACF的值均在兩倍標準差之內，其序列相關性較弱；而平方收益率的樣本ACF均超出兩倍標準差，表現出較強的相關性，說明收益率序列存在非常顯著的ARCH效應[8]。故在此用EGARCH(1,1)模型來擬合該數據。表2給出了EGARCH(1,1)模型的參數估計，其中括號內為估計的標準誤差。

圖2　滬深300指數日對數收益率序列和平方收益率序列的ACF圖表2　EGARCH(1,1)模型的參數估計

μtωα1β1γ10.000132(0.000308)-0.92178(0.006589)-0.013694(0.010349)0.988046(0.000656)0.144162(0.019526)

圖3上面為殘差序列概率密度直方圖，曲線則是與殘差序列等均值、等方差的正態分布概率密度。圖3下面是殘差序列對正態分布的QQ圖，以樣本分位數為縱坐標、正態分位數為橫坐標的點在兩端偏離了斜率為1的直線，殘差序列表現出明顯的“尖峰厚尾”性。對其做Jarque-Bera正態性檢驗，檢驗統計量的p值小于2.2×10-16，拒絕了其正態性假設[14]。

圖3　修正殘差序列概率密度函數及QQ圖

在金融中最小收益率與持有多頭金融頭寸有關，所以一般將極值理論應用到給定時間的資產最小收益率上；又由于負的序列的最大值的相反數即為正的序列的最小值，所以利用變換-rt=-μt-at, -at=σt·(-εt)將極值理論應用至修正殘差序列的負值而不是其本身。本文對極值理論的分析采用的是R軟件中evir程序包。

3.3對修正殘差序列擬合GPD

POT方法要求指定一個閾值u，閾值u的選擇依賴于對象序列。經驗表明：可以通過選擇閾值u使得超越的次數大約為樣本總數的5%[8]。由于本文的重點不在閾值的選取上，在此選用經典的超越量均值函數圖選取閾值。當u大于某個閾值u0時，超越量均值函數關于u是線性的[15]。圖 4給出了修正殘差序列的超越量均值函數圖，由圖可知：閾值選1.5是比較合理的。

表3給出了負的修正殘差序列在閾值選1.5時擬合GPD參數的極大似然估計。

圖5是負的修正殘差序列擬合GPD的診斷檢驗圖，其中：(a)是超越量的分布函數圖(橫坐標取對數刻度);(b)是殘差的碎石圖；(c)為尾概率估計(取對數刻度);(d)為QQ圖。結果表明：GPD很好地擬合了數據。

圖4　負的修正殘差序列超越量均值函數圖表3　負的修正殘差序列擬合GPD的參數估計

Nuξ^^σu=1.5205(約占樣本總量的6.4%)-0.09688922(0.07712182)0.71142533(0.07387009)

圖5　負的修正殘差序列擬合GPD的診斷檢驗

3.4VaR的返回測試

無論采用哪種方法得到收益率序列的VaR值，其實質都是一個估計值，這樣就不可避免地存在誤差，這些誤差可能是由于模型的不充分、估計方法的缺陷或是隨機誤差造成的，所以要對其結果進行返回測試。VaR返回測試的方法很多，其中最常用的是文獻[16]提出的失敗率檢驗法。該方法是將觀測到的收益率與計算的VaR進行比較，小于VaR的情形可以被看作一個二項分布中出現的獨立事件。定義示性變量

在此采用2014-01-02—2015-04-03共305天的數據對滬深300指數的日對數收益率進行返回測試。表4列出了兩種模型的VaR返回測試結果，可見對修正殘差序列采用極值理論得到的VaR在q=95%和q=99%的置信水平下均通過了檢驗，而傳統的殘差序列服從正態分布的模型在q=99%的置信水平下卻沒有通過檢驗。

圖6和圖7分別展示的是在q=95%和q=99%置信水平下對修正殘差序列采用極值理論和正態分布擬合得到的VaR?？梢钥闯觯簩埐钚蛄兄苯硬捎谜龖B分布擬合往往低估了風險，而對修正殘差序列采用極值理論擬合GPD得到的VaR對風險的度量更準確。

表4　修正殘差序列不同分布假設下收益率的VaR返回測試結果

圖6　q=95%置信水平下修正殘差序列不同分布假設下的收益率的VaR

圖7　q=99%置信水平下修正殘差序列不同分布假設下的收益率的VaR

4結束語

本文在EGARCH模型的基礎上，結合了極值理論的優點，構造出一種新的EGARCH-GPD模型，并將其應用于滬深300指數日收益率的VaR度量上體現了其波動率時變的特征和“杠桿效應”。基于廣義Pareto分布的極值理論更有效地刻畫了收益率序列“厚尾”的特點，在一定程度上提高了VaR的預測精度。

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(責任編輯劉舸)

VaR Forecasting for CSI 300 Index Based on EGARCH-GPD Model

WEI Zheng-yuan, LI Juan, LUO Yun-feng

(College of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

Abstract:This paper constructed a new EGARCH-GPD model combined the classical EGARCH model with extreme value theory based on generalized Pareto distribution, and provided the dynamic estimation problems of VaR. The results of VaR back testing on CSI 300 index show that compared with the EGARCH model based on normalized residual, the new model can effectively describe the time-varying volatility and the ‘fat tail’ of financial data, hence increase the prediction accuracy of VaR in a certain extent.

Key words:EGARCH model; generalized Pareto distribution; POT; VaR; Kupiec proportion of failures test

收稿日期：2015-09-22

基金項目：重慶市自然科學基金資助項目(cstc2012jjA00018)；重慶市教委科學技術研究項目(KJ130810)

作者簡介：魏正元(1975—)，男，湖北襄陽人，博士，副教授，主要從事應用概率統計、金融統計、金融數學研究；李娟(1991—)，女，河南信陽人，碩士研究生，主要從事金融統計與數據分析相關研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.05.021

中圖分類號：O21

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2016)05-0119-06

引用格式：魏正元，李娟，羅云峰.基于EGARCH-GPD模型的滬深300指數的VaR度量[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(5):119-124.

Citation format：WEI Zheng-yuan, LI Juan, LUO Yun-feng.VaR Forecasting for CSI 300 Index Based on EGARCH-GPD Model [J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(5):119-124.