生活中的一元一次不等式

魏思晴

黑格爾說：“數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號.”數(shù)學(xué)來源于生活，我們每一天的衣、食、住、行中往往都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的原理.生活中處處存在數(shù)量之間的不等關(guān)系，不等式便是刻畫這種不相等數(shù)量關(guān)系的有效模型.一元一次不等式是不等式中最為簡單的一種.

前幾天，小孟所在的學(xué)校舉辦了一次知識競賽，小孟作為優(yōu)秀學(xué)生代表，全程參與了這次競賽的準(zhǔn)備工作，這次經(jīng)歷讓小孟深刻地感受到了一元一次不等式的廣泛用途.

【事件一】主辦方委托小孟為外地來參賽的學(xué)生安排住宿，由于宿舍有限，如果每間4人，那么有20人無法住宿，如果每間 8人，那么有一間宿舍住不滿，求宿舍間數(shù)和外地參賽學(xué)生人數(shù).

【分析】想要解決安排住宿的事情也需要數(shù)學(xué)知識來幫忙.題中“住不滿”三個(gè)字提示我們用不等式來解決這個(gè)問題.

解：設(shè)宿舍一共有x間，則學(xué)生的數(shù)量就是（4x+20）人.如果每間住8人，則一共可以住8x人，但有一間住不滿.

根據(jù)題意可列出不等式：0<8x-（4x+20）<8，其中x為正整數(shù).

解得5

【事件二】比賽當(dāng)天，小孟決定打車前往會場，當(dāng)?shù)爻鲎馄嚻鸩絻r(jià)為10元（即行駛距離在5千米以內(nèi)都需付10元車費(fèi)），達(dá)到或超過5千米后，每行駛1千米加1.2元（不足1千米也按1千米計(jì)）.小孟一共支付車費(fèi)17.2元，從小孟家到會場路程大約是多遠(yuǎn)？

【分析】生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：乘出租車所走的路程通常不會是整千米數(shù)，計(jì)價(jià)器按照“進(jìn)一法”計(jì)算路費(fèi)，不足1千米的路程也按1千米計(jì)，能乘坐的路程不超過所付費(fèi)用對應(yīng)的路程，顯然也可以用不等式來解決這個(gè)問題.

解：設(shè)從甲地到乙地路程是x千米.

根據(jù)題意列出不等式：17.2-1.2<10+1.2（x-5）≤17.2，解得：10

【事件三】本次知識競賽共有15道題.競賽規(guī)則是：答對1題記8分，答錯(cuò)1題扣4分，不答記0分. 競賽現(xiàn)場十分火爆，神箭隊(duì)有2道題沒答，飛艇隊(duì)答了所有的題，兩隊(duì)的成績都超過了90分，兩隊(duì)分別至少答對了幾道題？

【分析】我們可以分別考慮兩隊(duì)的答題情況，答對題目得分減去答錯(cuò)題目減分就是隊(duì)伍的實(shí)際得分，“超過”一詞提示我們用不等式解決問題.

解：設(shè)神箭隊(duì)答對了x題，答錯(cuò)了15-2-x，即（13-x）題.

根據(jù)題意列出不等式：8x-4（13-x）>90，解得x>，我們?nèi)≌麛?shù)值，神箭隊(duì)至少答對了12題.

又設(shè)飛艇隊(duì)答對了x題，答錯(cuò)了（15-x）題.

根據(jù)題意列出不等式：8x-4（15-x）>90，解得x>，取整數(shù)值，飛艇隊(duì)至少答對了13題.

【事件四】競賽圓滿落幕，小孟準(zhǔn)備買塊蛋糕來慶祝一下，蛋糕店的姐姐又給他出了難題：今早蛋糕店制作了招牌蛋糕100塊，成本是每塊7元，零售價(jià)定為每塊10元.傍晚六點(diǎn)時(shí)銷售了一半，為了保證新鮮盡快售完，準(zhǔn)備打折出售.如果要使總利潤不低于200元，那么余下的蛋糕可以按原定價(jià)的幾折出售？

【分析】生活中經(jīng)常能看到蛋糕店到了傍晚降價(jià)出售，卻很少有人關(guān)心促銷背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理.題目中不低于這個(gè)字眼讓我們聯(lián)想起用不等式來解決問題，題目里隱藏的不等關(guān)系為打折前銷售額+打折后銷售額≥總成本+總盈利.

解：設(shè)余下的蛋糕可以按原定價(jià)的x%出售.

打折前銷售額：100××10

打折后銷售額：100××10·x%

列出不等式：100××10+100××10·x%≥7×100+200

解：x%≥80%，也就是說，最多打八折出售.這樣既能讓客人吃上新鮮的蛋糕，又能夠保店家一定的利潤，看來蛋糕店傍晚折扣的傳統(tǒng)也不無道理啊.

【事件五】幾天后學(xué)校委托小孟將競賽錄像刻錄成電腦光盤，若到電腦城刻錄，每張需8元（包括空白光盤費(fèi)）；若自行刻錄，除租用刻錄機(jī)需120元外，每張光盤還需成本4元（包括空白光盤費(fèi)）.問刻錄這批電腦光盤，小孟該如何選擇，才能使費(fèi)用降至最低？

【分析】接到學(xué)校委托的任務(wù)時(shí)，同學(xué)們總是希望盡心竭力地將它辦好.兩種刻錄方案哪一種費(fèi)用更低？不知道刻錄光盤的數(shù)量還真不好說.

解：設(shè)需要刻錄的光盤共x張.

電腦城刻錄費(fèi)用：8x；

自行刻錄費(fèi)用：120+4x，

電腦城刻錄比自行刻錄貴時(shí)，8x>120+40.

解得x>30，也就是說，超過30張時(shí)，還是自行刻錄便宜啊！而且刻錄的張數(shù)越多越便宜.

怎么樣？現(xiàn)在你是否也感受到生活中無處不存在著數(shù)學(xué)的元素？跟隨著小孟的腳步，我們也通過用數(shù)學(xué)知識來解決實(shí)際問題的過程體會到了成功感和愉悅感.數(shù)學(xué)是有用的，也是好用的，希望你有一雙善于發(fā)現(xiàn)問題的眼睛和一個(gè)善于思考問題的頭腦，在日常的消費(fèi)、理財(cái)、決策、計(jì)劃等方面都能用上學(xué)過的數(shù)學(xué)知識幫助你做決定，避免盲目、沖動、被忽悠，那樣你就是一個(gè)精明的小行家啦！

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）