著眼理解，注重推理

徐亮

《證明》這章主要學習定義、命題、定理、推論以及原命題及其逆命題、互逆命題等概念，并且要求知道證明的意義和證明的必要性，能從基本事實出發，體會通過合情推理探索數學結論、運用演繹推理加以證明的過程，本章的學習對于學生學好幾何內容，培養合情推理與演繹推理的能力有很大的幫助.為了幫助同學們學好這一章，本文對證明中的幾個難點作以解讀.

難點一：找出命題的題設與結論

首先要明白命題是由條件和結論組成，要熟悉命題的敘述方式，根據情況找出命題的條件和結論，要清楚命題通常可以寫成“如果……，那么……”的形式，比如，“如果兩直線平行，那么同位角相等”這個命題中，“如果”后面的是條件，“那么”后面的是結論；當然，也有一些命題沒有寫成“如果……，那么……”的形式，如“對頂角相等”這樣的命題，它的條件和結論不明顯，為了分清它的條件和結論，首先要明確它是由兩個部分（條件和結論）組成的，其次要分析這個命題是由什么已知事項推出了什么結論，最后將其改寫成“如果……，那么……”的形式. 因為“對頂角相等”是研究一對對頂角的關系，因此，將其改寫為“如果……，那么……”的形式是：“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”. 而對于“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”這個命題，“如果”前面這句話“兩條直線被第三條直線所截”實際上是命題的前提條件，這個前提條件和“如果”后接的部分一并是條件，“這兩條直線平行”是結論. 這類命題，只要畫出圖形，“條件”和“結論”就可以用符號語言簡明地表示出來：

如圖1，題設：∠1=∠2，結論：a∥b.

其次要多做練習，結合具體事例，區分命題的條件和結論，必要時要結合圖形來區分.

例1 寫出下列命題的條件和結論：

（1） 如果兩個角相等，那么它們是對頂角；

（2） 如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內角互補；

（3） 如果不等式兩邊都加同一個數，那么不等式的方向不改變；

（4） 互為倒數的兩個數的積為1；

（5） 同位角相等.

【分析】確定命題的條件和結論的方法就是將命題改寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的是條件，“那么”后面的是結論.

【點評】本題考查命題的意義及結構. 第（1）、（2）、（3）三個命題的條件和結論比較明顯，第（4）、（5）兩個命題的條件和結論不明顯，需要仔細分析，把命題寫成“如果…，那么…”的形式，再找出題設和結論.

（1） 條件：兩個角相等，結論：它們是對頂角；

（2） 條件：兩條直線被第三條直線所截，結論：同旁內角互補；

（3） 條件：不等式兩邊都加同一個數，結論：不等號方向不改變；

（4） 先將命題寫成“如果……，那么……”的形式，即“如果兩個數互為倒數，那么這兩個數的積為1”，則條件是：兩個數互為倒數，結論是：這兩個數的積為1；

（5） 先將命題寫成“如果……，那么……”的形式，即“如果兩個角是同位角，那么這兩個角相等”，則條件是：兩個角是同位角，結論是：這兩個角相等.

例2 一位同學將“對頂角相等”用“如果…，那么…”的形式寫成“如果對頂角，那么相等”，來找命題的題設和結論，這種改法正確嗎？若不正確，請你寫出正確的改法.

【點評】本題考查命題的結構與條件、結論的辨認. 需要注意的是，在用“如果…，那么…”的形式改寫一個命題時，“如果”后面應是一個句子，而“對頂角”是一個詞語，改寫條件時有時需要補充一些詞語，使之成為一個句子，如寫成“如果兩個角是對頂角”. 同樣地，“那么”后面也不能只寫一個詞語“相等”，而應寫成一個句子“這兩個角相等”，所以“對頂角相等”應改寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”. 這樣改寫后，很容易分清命題的條件和結論. 本題的答案是：這種改法不正確，正確的改法應寫成“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”.

難點二：真假命題的判斷

首先要理解真、假命題的意義，真命題是指條件成立，結論也成立的命題；而假命題是指條件成立時，不能保證結論總是正確的，也就是說結論不成立的命題.

其次通過對真假命題的判斷，理解并體會：（1） 如果條件成立，真命題的判斷總是正確的，而假命題的判斷不能保證總是正確的；（2） 要說明一個命題是假命題，只要舉出一個“反例”即可，而要說明一個命題是真命題，無論驗證多少個例子，都無法保證這個命題的正確性，因此就需要證明.

例3 判斷下列命題是真命題還是假命題：

（1） 如果a>0，b>0，那么a+b>0；

（2） 如果n<2，那么n2-4<0；

（3） 同角的余角相等；

（4） 同位角相等.

【分析】判斷命題是真命題還是假命題時前提是條件成立，看結論是否成立，而說明命題是假命題時只要舉一個反例即可.

【點評】本題考查的是真假命題的判斷，需要從定義上判斷，在命題的條件成立時判斷命題的結論是否正確，如果要說明命題是假命題，只要舉一個反例即可.因此本例中（1）、（3）是真命題；（2）、（4）是假命題，其中（2）中可以舉n為-3等，（4）可以畫圖來舉反例說明.

難點三：證明的關鍵步驟和理由的填寫

可以分這樣幾個步驟來解決：（1） 首先要了解每一個基本事實和定理的符號推理形式；（2） 對于具體的證明過程，要弄清證明過程有幾個因果關系，每個因果關系是由什么條件得到什么結論，然后對照所學的定義、定理或基本事實注明理由；（3） 會用“因為……，所以……”的形式進行說理，逐步養成說理有據，步步有理的習慣；（4） 加強練習，多做一些填寫步驟和理由的訓練，為以后書寫規范、嚴謹的證明格式作準備.

例4 已知：如圖2，∠1=∠2，∠C=∠D，求證：∠A=∠F.

證明：∵∠1=∠2（已知），

∠2=∠3（ ），

∴∠1=∠_______（等量代換）.

∴______∥______（ ）.

∴∠C=∠4（ ）.

∵∠C=∠D（已知），

∴∠D=∠4（ ）.

∴DF∥AC（ ）.

∴∠A=∠F（ ）.

證明：∵∠1=∠2（已知），

∠2=∠3（對頂角相等），

∴∠1=∠3 （等量代換）.

∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行）.

∴∠C=∠4（兩直線平行，同位角相等）.

∵∠C=∠D（已知），

∴∠D=∠4（等量代換）.

∴DF∥AC（內錯角相等，兩直線平行）.

∴∠A=∠F（兩直線平行，內錯角相等）.

總之，證明的過程是一個在充分理解題意的基礎上，綜合應用各種方法進行推理、演繹的過程. 通過學習同學們能感受數學的嚴謹、結論的確定，初步樹立言之有理、落筆有據的推理意識，發展初步的演繹推理能力.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）