千里之堤毀于蟻穴

祁艷波

同學們，我們知道數學來源于生活，反過來又應用于生活.初中數學主要包括代數和幾何兩部分，代數容易出現的錯誤是計算部分，而幾何的錯誤主要出現在說理論證部分.對于幾何部分，不少學生反映：某某題目我會做，但是過程我不會寫，或者說我寫了不知道對不對.這些都充分反映了同學們對幾何部分理論的掌握情況.不少學生在做幾何說理論證時，把已知條件全部寫出來，然后就得出結論，這種解答問題的方式是不對的.那我們該如何做才能達到我們想要的結果呢？下面我們一起來看看在蘇科版七年級（下）第12章《證明》中容易出現的一些錯誤.

1. 對命題與非命題識別中的錯誤

例1 給出下列語句：（1） 三角形的外角和為360°；（2） 好香的茉莉花呀！（3） 在△ABC中，若AB=AC，那么△ABC是等腰三角形，你認為這個結論正確嗎？（4） 不許和陌生人說話.其中是命題的有_________（填序號）.

【分析】命題表示判斷，不能既肯定又否定，因此命題一定是陳述句，不能是疑問句、感嘆句或祈使句，也不能是畫圖語句或猜測，題中只有（1）表示判斷，是命題.

【錯解】（1）（2）（3）（4）

【正解】（1）.

2. 命題改寫中的錯誤

例2 將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式.

對頂角相等.

【分析】在改寫命題時，不能簡單地把條件部分、結論部分分別填在“如果”“那么”的后面，要適當地增減詞語，在不改變意思的前提下，保證整體句子敘述的通暢.

【錯解】如果對頂角，那么相等.

【正解】如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.

3. 證明中推理不嚴密導致的錯誤

例3 如圖1，已知AB∥CD，∠B=40°，∠D=40°，求證：BC∥DE.

【分析】證明中的推理過程不能“想當然”，每一步推理都要有根據.這些根據，可以是已知條件，也可以是定義、定理或公理.推理過程要嚴密，不能跳步.

【錯解】因為∠B=40°，∠D=40°（已知），

所以∠B=∠D（等量代換），

所以BC∥DE（同位角相等，兩直線平行）.

【正解】∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠C=40°（兩直線平行，內錯角相等）.

∵∠D=40°（已知），

∴∠C=∠D（等量代換）.

∴BC∥DE（內錯角相等，兩直線平行）.

4. 要看清條件寫理由

例4 填寫推理依據：

如圖2，∵∠D=∠C，

∴DE∥BC（ ），

∴∠E=∠B（ ）.

【分析】由∠D=∠C，得到DE∥BC，應填平行線的判定條件，即“內錯角相等，兩直線平行”.再由DE∥BC，得到∠E=∠B，應填平行線的性質，即“兩直線平行，內錯角相等”.

【錯解】兩直線平行，內錯角相等.內錯角相等，兩直線平行.

【正解】內錯角相等，兩直線平行.兩直線平行，內錯角相等.

【點評】由角的數量關系（相等或互補）得到兩直線的位置關系（平行），根據的是平行線的判定方法；而由兩直線的位置關系（平行）得到角的數量關系（相等或互補），根據的是平行線的性質，填寫理由時不可混淆.

5. 要正確理解“等量代換”的含義

例5 下列推理：（1） ∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3；（2） ∵a∥b，b∥c，∴a∥c；（3） ∵∠1=∠2，∴∠1=∠2；（4） ∵∠1+∠2=90°，∠2=∠3，∴∠1+∠3=90°.其中以“等量代換”為推理依據的有（ ）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【分析】“等量代換”的含義是相等的量可以相互代替，它考查的是量與量之間的數量關系.（2）中其實是平行的傳遞性，不是數量關系，而是位置關系.（3）是由等式的性質得到的.（1）（4）是以等量代換為依據得到的.

【錯解】D.

【正解】B.

6. 未掌握反例的概念，導致所舉反例不能說明命題為假而產生的錯誤

例6 判斷命題“如果ab>0，那么a>0”的真假，若是假命題，請舉出一個反例說明.

【分析】反例即為滿足命題條件，但不滿足命題結論的例子.不要誤認為就是逆命題，而出現錯誤.

【錯解】如果a>0，那么ab>0.

【正解】是假命題.例如a=-1，b=-1時，ab=1>0，但a=-1<0.

7. 要看清原命題還是逆命題

例7 下列命題：（1） 相等的角是對頂角；（2） 有理數的絕對值是非負數；（3） 無限小數是無理數；（4） 二元一次方程組x+3y=-1，

3x-2y=8的解是x=2，

y=-1.其中逆命題是真命題的是___________________.

【分析】本小題是要找出逆命題是真命題的命題，要看清題中的要求.

【錯解】（2）.

【正解】（1）（3）.

8. 證明中的循環(huán)論證問題

循環(huán)論證就是用來證明論題的論據本身的真實性要依靠論題來證明的邏輯錯誤.比如說：一個瘦子問胖子：“你為什么長得胖？”胖子回答：“因為我吃得多.”瘦子又問胖子：“你為什么吃得多？”胖子回答：“因為我長得胖.”通過這個例子我們能很容易理解什么是“循環(huán)論證”.

例8 如圖3△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°.

【錯解1】延長BC到D，

∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一外角等于與它不相鄰的兩個內角之和），

∵∠ACB+∠ACD=180°（補角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

【分析】本題出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這是學生提供的一種證明方法.這種方法看似很好，在添加輔助線時并不是很復雜，但是這位同學犯了典型的“循環(huán)論證”錯誤.“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角和”，這個定理是運用三角形內角和定理證明的，這很明顯是個“循環(huán)論證”.

【錯解2】過A作AD⊥BC，

（如圖4）∵AD⊥BC（已作），

∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定義），

∴∠BAD+∠B=90°，∠CAD+∠C=90°（直角三角形兩個銳角互余），

∴∠BAD+∠B+∠CAD+∠C=180°（等式的性質），

即：∠BAC+∠B +∠C=180°.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，這種方法也是學生提供的一種證明方法，但是在上一題的講解后，已經有學生能夠發(fā)現這種“循環(huán)論證”的錯誤了.

【錯解3】利用四邊形內角和是360°，

∵四邊形的內角和是360°，

四邊形可以分成兩個三角形，

∴三角形內角和是180°.

【分析】本題也是出現在三角形內角和為180°的證明問題中，在證明的時候學生利用了四邊形的內角和為360°，有學生發(fā)現四邊形的內角和是由三角形內角和為180°證明得到的，所以這種解法也犯了“循環(huán)論證”的錯誤.

【正解】如圖5，作BC的延長線CD，過點C作CE∥AB，

∵CE∥AB（已作），

∴∠1=∠B （兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠A（兩直線平行，內錯角相等）.

∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.

（作者單位：江蘇省連云港市海頭中心校）