利用圖形旋轉變換解題的思路探索

張建能

摘 要：這一輪課程改革，對幾何作了較大幅度的調整，印象較深之一是加強了“幾何變換”的內容，即從變換的角度去認識傳統幾何中的證題術。初中幾何涉及的變換主要有平移、對稱和旋轉，本文從“旋轉”這一角度舉些例子，供大家參考。

關鍵詞：數學；旋轉；解題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）11-319-01

例1、如圖〔1〕分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫半圓，若正方形的邊長為 ，求陰影部分的面積。

解：連AC、BD如右圖，則繞AD中點將圖中②逆時針旋轉 到圖中③，將圖中①繞AB中點順時針方向旋轉 到圖中④，則原圖中陰影部分的面積就和△DBC的面積相等，所以圖中陰影部分的面積=S⊿DCB = S 正方形ABCD= 。這里我們用旋轉變換的方法改變了圖中①和②的位置，從而順利地完成了計算。

例2、如圖⑵所示，在⊿ABC中，AB=AC，∠BAC= ，D是BC上任一點，試說明 。

證法一（非旋轉法）：過A點作

AE⊥BC于E，如圖⑶，則容易證明AE=BE=EC，又BD=BE-DE，DC=CE+DE，

所以 ， ，所以 = + = ，而在直角三角形ADE中，存在 ，所以 ，這是傳統的證明方法。

本題考慮到BD、DC、AD三線段分散在兩個三角形中，而且構成平方和的條件不明顯，若利用旋轉變換，將BD、DC放到一個三角形中，若這個三角形是直角三角形，則創造 就更能接近所證的目標了。

證法二（旋轉法）： 將△ADC繞A點順時針方向旋轉 到△AEB，如圖⑷， 連DE， 易知△ADE、△DBE均為直角三角形，且AE=AD，BE=DC， 所以在Rt△EBD中有 ，在Rt△AED中有 ，所以

例3、如圖⑸所示，P為正方形內一點，且PA=1，BP=2，PC=3，求∠APB的大小

解： 如圖（6），將⊿BPC繞B點逆時針旋轉 到△BEA， 連EP易知∠PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2，在Rt⊿BEP中， ， 且∠EPB= ，在⊿AEP中 ，又 ，所以△APE是直角三角形，即∠APE= ，∠APB=∠APE+∠EPB= + = ，即∠APB為

傳統幾何中，有許多旋轉的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。如圖（7），正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，如果△APQ的周長為2，求∠PCQ的度數。

將△CDQ繞C點逆時針旋轉90°像圖（8）那樣，立刻可得QA+AB+BE=2，由△APQ周長為2得 PQ=PE，進一步可得△CPQ≌△CPE，∠PCQ=∠PCE，又∠QCE=90°，所以∠PCQ=45°

又如圖（9），△ABC中，AB=AC，P為三角形內一點，且∠APB>∠APC，求證：PC>PB。將△APB繞A點逆時針旋轉成右圖那樣，不難得到條件∠APB>∠APC變成了∠PQC>∠QPC，從而PC>CQ，由旋轉關系，PC>PB。

最能體現旋轉法的莫過于下面這個問題了：如圖（10），四邊形ABCD中，AB=AD，∠A=∠C=90°，其面積為16，求A到BC的距離。通過旋轉變換，將圖（10）變成圖（11），答案可以脫口而出：距離為4！類似的例子可以舉出許多，這里不再贅述。

綜上可見，正確利用圖形的旋轉變換可大大提高解題效率，不過在使用這一方法解題時還需注意圖形旋轉變換的基礎，即存在相等的線段，故這種方法一般常用于等腰三角形，正方形圖形中。

參考文獻：

[1] 吳秀明.加強基本圖形研究，有效實施初中數學圖形歸納[J].數理化學習：初中版，2015（3）.

[2] 桑高峰.淺析初中數學圖形類問題教學[J].中學時代，2014（16）