再議重積分計算中積分限的確定

趙娟　管梅

【摘 要】在高等數學教學中，重積分的計算是教學重點亦是難點。而在重積分的計算中積分限的確定是關鍵，文中結合筆者的教學體會討論重積分計算中積分限的確定問題。鑒于初學者易將積分限為變數的情形誤當做積分限為常數的情況，文中重點討論了積分區域為何種形狀時，二次或者三次積分的各積分限才能都取常數。文中所做討論的結果若為初學者借鑒，可有效避免在重積分的計算中出錯。

【關鍵詞】重積分；二次積分；三次積分；積分限；積分區域

【Abstract】In the teaching of higher mathematics， the calculation of the integral is both the focus and difficult points. And the integral limit is the key in the calculation of the integral. The paper combines the authors teaching experience to discuss the problem of the determination of the integral limit. In view of the fact that the beginners to limit integral variable error as the limit of integral constant. In this paper focuses on the regional integral why shape， two or three points of the integral limit to are taking a constant. The results discussed in this paper can be used for reference for beginners， which can effectively avoid the error in the calculation of the multiple integrals.

【Key words】Multiple integrals； Second-order integration； Triple integrals； Integral limit； Integral domain

0 引言

在高等數學教學中，二重積分和三重積分的計算是教學的重點和難點，而在重積分的計算中積分限的確定是一個尤為關鍵的問題。許多教師從不同方面總結了積分限確定的技巧和學生學習中容易犯的錯誤[1-3]。針對直角坐標系下二重積分計算中積分限的確定問題，筆者已將教學經驗總結為一首口訣[4]，事實證明可以有效幫助初學者確定二重積分計算中積分限的確定。但是筆者發現對于二重積分的極坐標系下的計算以及三重積分的柱面和球面坐標系下的計算，很多初學者在確定積分限時經常容易犯一些錯誤。其中最容易犯的錯誤在于總是將積分限為變數的情形誤認為積分限為常數的情形。在此，筆者將積分限為常數的情況作總結如下，并指出初學者易犯的錯誤，以期所做討論的結果為初學者借鑒，從而在重積分計算過程中對于積分限的確定有一個明確的思路。

1 重積分計算中確定積分限時容易出現的幾類錯誤

重積分計算時，對于直角坐標系下積分限為常數的情形大部分同學掌握很好，但是對于極坐標下二重積分積分限的確定，以及柱面坐標和球面坐標下的三重積分積分限的確定很多同學經常會把積分限為變數的情形錯誤地寫作積分限為常數，特舉例說明如下。

1.1 極坐標系下二重積分計算的情形

2 重積分化為累次積分時積分限確定的相關結論

2.1 極坐標變換下二重積分計算的結論

2.2 柱面坐標變換下三重積分計算的結論

通過上述討論，初學者首先應該掌握什么情況下運用柱面坐標變換計算三重積分，然后要掌握三重積分化為三次積分時積分順序通常是先對z，再對r，最后對θ積分。最會要清楚，只有當積分區域為圓柱面和平面所圍成立體，且該立體在某一坐標面投影為圓心在原點的圓或者扇形、圓環時，所得三次積分的積分限才均為常數。

2.3 球面坐標變換下三重積分計算的結論

利用球面坐標變換求三重積分，初學者首先應該掌握什么情況下運用球面坐標變換計算三重積分，然后要掌握三重積分化為三次積分時積分順序通常是先對ρ，再對θ，最后對φ積分。最會要清楚，只有當積分區域為球心在坐標原點的球面所圍立體或者一部分時，所得三次積分的積分限才均為常數。

3 結束語

文中結合教學經驗，剖析了在極坐標、柱面坐標以及球面坐標變換下，將二重積分和三重積分化為累次積分時積分限的確定過程中初學者容易出現的錯誤，主要是容易將積分限為變數的情形誤寫為積分限為常數的情形。通過總結初學者在重積分計算中常犯錯誤的并給出正確解法和有關結論，可以有效幫助初學者走出重積分計算的誤區，起到事半功倍的效果。

【參考文獻】

[1]陳鳳德，陳柳娟，呂書龍.從錯誤題解談二重積分極坐標變換的積分限安排[J].福建教育學院學報，2015（4）：118-119.

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[3]張波.“穿線法”技巧在高等數學重積分計算中的應用[J].文理導航，2014（7）：21-22.

[4]趙娟，劉敏，寧群.二重積分計算中積分限的確定[J].宿州學院學報，2007，22（4）：83-85.

[5]陳秀，張霞.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2011：213.

[6]陳秀，張霞.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2011：112-115.

[責任編輯：楊玉潔]