基于形狀因子的輻射地板傳熱量計算等效熱阻模型

吳小舟+趙加寧+王灃浩

摘 要：對輻射地板傳熱過程進行分析，提出了基于形狀因子的輻射地板傳熱量計算等效熱阻模型.為了驗證簡化模型的合理性，采用數值模擬計算結果進行驗證，并與標準手冊中采用的簡化模型計算結果進行對比分析.結果表明，當管間距變化范圍為50～250 mm，換熱管上端填充層厚度變化范圍為25～65 mm及熱水平均溫度變化范圍為25～45 ℃時，ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型計算結果與數值模擬計算結果相對誤差均較大，最大分別為20.2%，30.4%和22.8%，而本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型計算結果與數值模擬計算結果相對誤差較小，最大不超過3%；當管間距變化范圍為50～200 mm，換熱管上端填充層厚度變化范圍為15～55 mm及冷水平均溫度變化范圍為10～20 ℃時，ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型計算結果與數值模擬計算結果相對誤差也均較大，最大分別為80.1%，17.7%和16.8%，而本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型計算結果與數值模擬計算結果相對誤差較小，最大不超過2%.

關鍵詞：輻射地板；傳熱量計算；等效熱阻模型；形狀因子

中圖分類號：TU833.1 文獻標識碼：A

文章編號：1674-2974（2016）05-0137-07

Abstract：An equivalent thermal resistance model for the heat transfer calculation of radiant floor based on shape factor was developed in this study. The proposed model was verified by numerical simulation， and compared with the data from the universal single power function of ISO standard， the fin model in ASHARE handbook， and the equivalent thermal resistance model in design handbook. The heat transfers obtained by the numerical simulation disagreed significantly with the existing methods including the universal single power function of ISO standard， the fin model in ASHARE handbook， and the equivalent thermal resistance model in design handbook. The maximum error rates were 20.2 %， 30.4 %， and 22.8 %， respectively， when the tube space ranges from 50 to 250 mm， the thickness of fill layer above pipe ranges from 25 to 65 mm， and the average hot water temperature ranges from 25 to 45 ℃. On the other hand， the maximum difference of the heat transfer predictions between the proposed model and the simulation software was less than 3%. When the tube space ranges from 50 to 200 mm， the thickness of fill layer above pipe ranges from 15 to 55 mm， and the average cold water temperature ranges from 10 to 20 ℃， the maximum error rates of the heat transfer predictions between the numerical simulation and the existing methods were 80.1 %， 17.7 %， and 16.8 %. On the other hand， the heat transfer predicted by the proposed model showed less than 2 % of difference from that of the numerical simulation.

Key words：radiant floor； heat transfer calculation； equivalent thermal resistance model； shape factor

輻射地板供暖供冷系統不僅具有較高熱舒適性，而且能夠顯著地降低建筑運行能耗，在公共建筑及住宅中得到廣泛的應用[1-3].輻射地板傳熱量計算模型是輻射地板供暖供冷系統設計和運行控制的關鍵，因此國內外學者對輻射地板傳熱量計算模型進行了大量的研究，并提出了很多模型.根據輻射地板傳熱過程描述的差異，這些模型可以分為3類：解析模型[4-6]、數值模擬模型[7-9]和簡化模型[10-12].

解析模型結構相對復雜，不便于工程師及設計師理解應用.而數值模擬模型僅能得到分散的結果，由于輻射地板組成部分及其特性參數可選擇的組合較多，導致數值模擬工作量相當大，很難包括所有的組合.因此，結構相對簡單及計算時間相對較少的簡化模型被廣泛應用于輻射地板設計手冊及標準中，如ISO標準中的冪函數計算模型[13]、ASHRAE手冊中的平面肋片模型[14]及地暖設計手冊中的等效熱阻模型[15]等.但這些簡化模型均存在一定問題，計算精度較低或者使用不方便.如ISO標準冪函數計算模型需要查表二次計算，過程比較繁瑣；ASHRAE手冊平面肋片模型忽略了地板垂直方向的傳熱，只考慮水平方向的傳熱，可能會引起較大的計算誤差；地暖設計手冊等效熱阻模型形式過于簡單，計算缺乏理論依據.

本文通過對輻射地板傳熱過程進行分析，提出計算精度較高且結構相對簡單的輻射地板傳熱量計算簡化模型，并與數值模擬模型及標準手冊中采用的模型計算結果進行對比分析，為輻射地板供暖供冷系統的設計及運行控制提供理論方法.

1 輻射地板供暖供冷系統傳熱量計算模型

輻射地板供暖供冷系統是將換熱管埋設于建筑圍護結構（樓板）中的供暖供冷系統，其結構原理如圖1所示.

如圖1所示，輻射地板主要由地面層、填充層、換熱管、保溫層和結構層組成.其中λco為地面層的導熱系數；λscr為填充層的導熱系數；λp為換熱管的導熱系數；λins為保溫層的導熱系數；λcon為結構層的導熱系數；δco為地面層的厚度；δp為換熱管的厚度；δins為保溫層的厚度；δcon為結構層的厚度；M為換熱管間距；Do為換熱管外徑；Di為換熱管內徑；d1為換熱管上端的填充層厚度；d2為換熱管下端的填充層厚度.

1.1 基于形狀因子的等效熱阻模型

由圖1可知，輻射地板傳熱過程為：熱（冷）水以對流換熱方式把熱（冷）量傳遞給管內壁，然后管內壁以導熱方式把熱（冷）量傳遞到管外壁，之后管外壁以導熱方式通過填充層、保溫層或結構層向地板表面傳熱，最后地板上或下表面以對流與輻射傳熱方式把熱（冷）量傳遞到室內.

對于輻射地板供暖供冷系統，其傳熱量的計算難點主要在于計算管外壁面與填充層外壁面之間的導熱量.這主要是由于輻射地板中與管外壁接觸的填充層部分形狀比較復雜，溫度及熱流密度在二個坐標方向上都是變化的，如此采用分析法求解計算通常相當麻煩和困難.

隨著建筑節能技術的不斷發展，輻射供暖供冷系統熱（冷）媒溫度與室內溫度相差較小，此時管外壁面與填充層外壁面表面溫度可視為均勻分布的，即兩者均可作為等溫界面.如此管外壁面與填充層外壁面之間的導熱量計算可以采用基于形狀因子的半無限大物體與其平行的圓管排之間（如圖2所示）導熱計算公式[16]，其形狀因子如式（1）所示.

基于上述分析，本文提出了基于形狀因子的輻射地板傳熱量計算等效熱阻模型，其地板上表面傳熱量計算式如式（2）所示.

輻射地板填充層中的圓排管如圖3所示，其填充層等效熱阻可視為圖2中所述熱阻的2倍，因此其形狀因子可如式（5）所示.

1.2 數值模擬計算模型

上節通過對輻射地板傳熱過程進行分析，提出了基于形狀因子的輻射地板傳熱量計算等效熱阻模型.為了驗證簡化模型的合理性，本文將采用與數值模擬計算結果進行對比的方式.這主要是由于輻射地板傳熱量的數值模擬計算結果可信度較高，相關計算結果已被輻射供暖供冷標準采納[13].

1.2.1 輻射地板物理模型

相對管間地板溫差傳熱，忽略地板軸向的溫差傳熱能得到足夠的計算精度，輻射地板三維導熱問題一般可以簡化為二維導熱問題，如圖4所示.

1.2.2 輻射地板數學模型

假設各層材料為各向同性，互相緊密接觸，忽略接觸熱阻，則描述該計算單元的二維穩態導熱微分方程式如式（10）所示：

1.2.3 定解條件

1）單元對稱邊界

對每一個計算單元對稱溫度場邊界有：

2）地板上表面邊界條件

地板上表面以對流換熱和輻射換熱兩種方式向房間傳熱，將對流換熱系數和輻射換熱系數綜合成一個換熱系數，如式（12）所示：

3）地板下表面邊界條件

地板下表面也是以對流換熱和輻射換熱兩種方式向房間傳熱，將對流換熱系數和輻射換熱系數綜合成一個換熱系數，如式（13）所示：

二維穩態導熱微分方程組邊界條件復雜，分析求解困難，一般都采用數值求解.HEAT2軟件采用有限差分法求解二維穩態導熱問題，具有計算精度較高、耗時較短等優點，目前已被輻射供暖供冷國際標準ISO 11855采用[13].因此，本文采用HEAT2軟件對上述導熱微分方程進行求解計算[17].

2 結果與分析

根據國際標準ISO 11855[13]，典型輻射地板供暖供冷系統結構及傳熱參數如表1所示.

為了將本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型與數值模擬計算模型及目前標準規范及手冊中采用的模型計算結果進行對比分析，以下將分別采用數值模擬計算模型、ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型計算不同工況下輻射地板傳熱量.

2.1 輻射供暖傳熱量計算結果與分析

當管間距變化范圍為50～250 mm，換熱管上端填充層厚度變化范圍為25～65 mm及熱水平均溫度變化范圍為25～45 ℃時，不同輻射地板供暖傳熱量各計算方法的計算結果如表2～表4所示.

由表2知，當換熱管上端填充層厚度為 45 mm，熱水平均溫度為35 ℃及管間距變化范圍為50～250 mm時，管間距的變化對ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型結果影響較大，這些方法的計算結果與數值模擬計算結果的相對誤差基本都超過5%，最大達到30%.而管間距的變化對基于形狀因子的熱阻模型計算結果影響較小，與數值模擬計算結果的相對誤差最大不超過3%.

由表3可知，當管間距為150 mm，熱水平均溫度為35 ℃及換熱管上端填充層厚度變化范圍為25～65 mm時，換熱管上端填充層厚度的變化對ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型結果影響較大，這些方法的計算結果與數值模擬計算結果的相對誤差都超過5%，最大達到20%.而換熱管上端填充層厚度的變化對基于形狀因子的熱阻模型計算結果影響較小，與數值模擬計算結果的相對誤差最大不超過3%.

由表4可知，當管間距為150 mm、換熱管上端填充層厚度為45 mm及熱水平均溫度變化范圍為25～45 ℃時，熱水平均溫度的變化 對ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型結果影響較大，這些方法的計算結果與數值模擬計算結果的相對誤差都超過5%，最大達到17%.而換熱管上端填充層厚度的變化對基于形狀因子的熱阻模型及ISO標準冪函數計算模型計算結果影響較小，與數值模擬計算結果的相對誤差最大不超過3%.

2.2 輻射地板供冷傳熱量計算結果與分析

當管間距變化范圍為50～200 mm，換熱管上端填充層厚度變化范圍為15～55 mm及冷水平均溫度變化范圍為10～20 ℃時，不同輻射地板供冷傳熱量各計算方法的計算結果如表5～表7所示.

由表5知，當換熱管上端填充層厚度為35 mm，冷水平均溫度為15 ℃及管間距變化范圍為50～200 mm時，管間距的變化對ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型結果影響較大，這些方法的計算結果與數值模擬計算結果的相對誤差基本都超過5%，最大達到50%.而管間距的變化對基于形狀因子的熱阻模型計算結果影響較小，與數值模擬計算結果的相對誤差最大不超過2%.

由表6可知，當管間距為100 mm，冷水平均溫度為15 ℃及換熱管上端填充層厚度變化范圍為15～55 mm時，換熱管上端填充層厚度的變化對ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型結果影響較大，這些方法的計算結果與數值模擬計算結果的相對誤差都超過5%，最大達到80%.而換熱管上端填充層厚度的變化對基于形狀因子的熱阻模型計算結果影響較小，與數值模擬計算結果的相對誤差最大不超過2%.

由表7可知，當管間距等于100 mm，換熱管上端填充層厚度等于35 mm及冷水平均溫度變化范圍為10～20 ℃時，冷水平均溫度的變化對ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型結果影響較大，這些方法的計算結果與數值模擬計算結果的相對誤差都超過5%，最大達到44%.而換熱管上端填充層厚度的變化對基于形狀因子的等效熱阻模型及ISO標準冪函數計算模型計算結果影響較小，與數值模擬計算結果的相對誤差最大不超過2%.

對比表2～4及表5～7可知，本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型在供冷工況下的計算誤差明顯小于供熱工況.這主要是因為供冷工況相比供熱工況，供水平均溫度更接近于室內溫度，導致管外壁面與填充層外壁面表面溫度分布相對更均勻，與模型假設一致，因此模型計算誤差相對較小.

根據本文的計算結果可得到本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型與其他簡化模型的對比結果，如表8所示.

由表8可知，本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型計算精度較高，使用范圍較廣.一般而言，換熱管上端填充層厚度均大于水管的半徑，因此本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型可用于常規的輻射地板供暖供冷系統設計及運行調節.

本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型使用過程與其他簡化模型基本一致.已知房間冷熱負荷及供回水溫度條件下，通過調整管間距及換熱管上端填充層厚度等使設計的輻射地板供熱供冷量等于或略大于房間冷熱負荷，此時的管間距及換熱管上端填充層厚度等即為輻射地板設計參數.

3 結 論

本文通過對輻射地板傳熱過程進行分析，提出了合理的基于形狀因子的輻射地板傳熱量計算等效熱阻模型，并與標準手冊中采用的模型計算結果進行對比分析，得到以下結論：

1）ISO標準冪函數計算模型、ASHRAE手冊平面肋片模型及地暖設計手冊等效熱阻模型的計算精度均較低；

2）本文提出的基于形狀因子的等效熱阻模型不僅計算精度較高，而且形式相對簡單.

參考文獻

[1] RICHARD W， CHAPMAN K. Radiant heating and cooling handbook [M]. New York ：McGraw Hill Professional， 2002：12-15.

[2] JAN B， OLESEN B W， KIM K W. Low temperature heating and high temperature cooling[M]. Brussets： REHVA， 2009：24-28.

[3] ROBERT B， OLESEN B W， KIM K W. History of radiant heating &cooling systems[J]. ASHRAE Journal， 2010， 52（1）：26-31.

[5] LU X ， TERVOLA P， Transient heat conduction in the composite slab-analytical method[J]. Journal of Physics A： Mathematical and General， 2005， 38 （1） ：81-86.

[6] ABDELAZIZ L. Development of a radiant heating and cooling model for building energy simulation software[J]. Building and Environment， 2004， 39 （4）： 421-431.

[7] 李安邦，徐新華.內嵌管式輻射地板的頻域熱特性分析[J].湖南大學學報：自然科學版，2015，42（1）：115-119.

[8] SILVANA F L， FILIPPN C ， LESINO G. Transient simulation of a storage floor with a heating/cooling parallel pipe system[J]. Building Simulation， 2010， 3 （2） ：105-115.

[9] JIN Xin， ZHANG Xiao-song. Numerical simulation of radiant floor cooling system： the effects of thermal resistance of pipe and water velocity on the performance[J]. Building and Environment ， 2010，45 （11） ：2545-2552.

[10]LIU Yan-feng， WANG Deng-jia ， LIU Jia-ping. Study on heat transfer process for in-slab heating floor[J]. Building and Environment， 2012， 54（10）： 77-85.

[11]ZHANG Lun， LIU Xiao-hua ， JIANG Yi. Simplified calculation for cooling/heating capacity， surface temperature distribution of radiant floor[J]. Energy and Buildings， 2012， 55（12）：397-404.

[12]LI， Qing-qing. Simplified thermal calculation method for floor structure in radiant floor cooling system[J]. Energy and Buildings， 2014， 74（7）： 182-190.

[13]ISO/DIS 11855-2 Building environment design-design， construction and operation of radiant heating and cooling systems-part 2： determination of the design heating and cooling capacity[S]. Brussels：International Organization for Standardization，2010：7-9.

[14]HANDBOOK A. HVAC systems and equipment[M]. Atlanta， GA： American Society of Heating， Refrigerating and Air Conditioning Engineers， 2011：11-13.

[15]魯翠.地板采暖設計施工手冊[M].北京：中國電力出版社，2009：16-19.

[16]錢濱江，伍貽文，常加芳，等.簡明傳熱學手冊[M].北京：高等教育出版社，1983：22-24.

[17]BLOMBERG T. Heat 2-A heat transfer PC-program： manual for heat2[D]. Lund：Department of Building Physics，University，Lund， 1991： 22-25.