無外力矩氣墊轉盤自轉的定量研究

李思達,田文壯,翟卉馨,吳　昊，吳明和，滕保華

(電子科技大學 a.英才實驗學院；b.通信與信息工程學院；c.物理電子學院，四川 成都 610054)

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無外力矩氣墊轉盤自轉的定量研究

李思達a,田文壯a,翟卉馨b,吳昊c，吳明和c，滕保華c

(電子科技大學 a.英才實驗學院；b.通信與信息工程學院；c.物理電子學院，四川 成都 610054)

摘要：從科里奧利力出發，對無外力矩氣墊轉盤自轉現象進行了定量討論，通過解析計算科里奧利力對不同形狀轉盤的影響，并結合數值仿真，形象說明了可以通過改變轉盤形狀來減少科里奧利力的影響.

關鍵詞：科里奧利力;氣墊轉盤;角加速度

科里奧利力是描述相對慣性系旋轉的參照系中運動質點偏移原來運動方向的作用，它不是真實存在的力，而是慣性作用在非慣性系中的體現. 科里奧利力F與運動質點質量m和速度v及地球自轉角速度ω(方向指向北極)的關系為[1-2]

F=2m(v×ω),

(1)

北半球上科里奧利力的水平分量總是指向運動的右側(在南半球上則總是指向運動的左側)，因而導致北半球上的氣流右偏、河流右岸沖刷嚴重等.

實際上，科里奧利力在許多領域有著廣泛的應用. 例如傅科擺，當擺面方向與地球自轉的角速度方向存在一定的夾角，由于科里奧利力的影響，使得擺面發生轉動. 再如質量流量計，它讓被測量的流體通過轉動或者振動中的測量管，由于流體在管道中受到的科里奧利力僅與其質量和運動速度有關，從而可以測量其質量流量. 廣泛應用于航天航空航海以及手機當中的陀螺儀，其工作原理也離不開科里奧利力.

本文討論的氣墊轉盤問題是科里奧利力的另外一個重要應用. 氣墊轉盤一般用于測定轉盤的轉動慣量，由于其機械摩擦小、現象直觀、數據準確、測量精度高等特點，已逐漸在物理實驗中替代剛體轉動實驗儀[3-4]. 但是在實驗數據處理時，發現轉盤分別做順時針和逆時針轉動時的角加速度相差可達0.13 rad/s2. 文獻[5]認為這是氣墊上的氣孔出氣不均勻導致轉盤受到外力矩而轉動的結果，文獻[6]指出可能是科里奧利力導致轉盤無外力矩時自由轉動的原因. 然而，這些文獻都是通過實驗數據展現出的現象進行定性分析，理論支撐較少，說服力略顯單薄. 本文將從科里奧利力出發，分析不同形狀的轉盤所受到的影響，并定量給出合理的氣墊轉盤形狀的尺寸.

1實驗裝置及原理

氣墊轉盤的示意圖如圖1所示，氣泵(氣源)從裝置下方提供氣體，由進氣孔輸入后，從氣室的上表面和定盤的內側的氣孔噴出，轉盤由氣室上表面噴出的氣體托起懸浮，而定盤內側的氣體使動盤作定軸轉動[1].

圖1　氣勢轉盤示意圖

定盤凹槽和轉盤之間氣體流向如圖2所示，定盤噴氣小孔均勻分布，凹槽大小均勻，噴出的氣體撞上轉盤后，分成2股氣流，分別以順時針和逆時針方向沿轉盤邊緣流動. 順時針流向的氣流受到科里奧利力的作用而向右偏，氣流向內側摩擦轉盤，使得氣流與轉盤邊緣之間的摩擦加?。煌?，逆時針流向的氣流受科里奧利力作用也向右偏，氣流向外側偏轉，氣流與左方轉盤邊緣間的摩擦減小，兩力合成，使轉盤在摩擦合力矩作用下沿順時針方向轉動.

圖2　氣室內部俯視圖

2科里奧利力對各種轉盤的影響

設轉盤為圓盤，半徑為R，定盤邊緣到轉盤距離即氣體厚度為A，氣體密度為ρa，摩擦系數為μ，v為氣流速度，ω為地球自轉角速度. 由于科里奧利力的作用，轉盤周圍順時針流動氣體使得圓盤順時針轉動的力矩增加，而逆時針流動氣體導致圓盤逆時針轉動的力矩減少.

以圓盤形轉盤為例，具體推導在僅有氣體且無外力矩情況下,科里奧利力造成的角加速度. 參考圖2和圖3，取定盤周長上一微段氣體dl，其質量為dm=Adxdlρa，則它所受的科里奧利力為

dFC=2dm(v×ω) ,

(2)

圖3　氣墊轉盤示意圖

由于氣體沿轉盤的切向流動，而氣體所受的科里奧利力沿徑向形成對轉盤的擠壓趨勢，從而對轉盤產生的摩擦力為

df=2μdmvω.

(3)

式中μ相當于摩擦系數，但一般遠大于1. 于是由科里奧利力而導致轉盤邊緣受到的摩擦力矩為

(4)

而圓盤形轉盤的轉動慣量為

(5)

根據剛體的轉動定律，轉盤在僅有氣體且無外力矩情況下由科里奧利力造成的角加速度為

(6)

其中ρ為圓盤密度.

可以看出，轉盤無外力矩自轉的直接原因是由于科里奧利力對氣墊轉盤中氣流的作用，使得轉盤邊緣受到摩擦力矩，在順時針轉動情況下使轉盤沿順時針方向轉動，最終導致轉盤轉動愈來愈快，這與實驗觀察得到的現象完全相符.

同時可觀察，科里奧利力導致的轉動角加速度與氣流速度和密度成正比，與圓盤密度和圓盤半徑負相關，這樣不僅可以通過減小裝置的氣泵氣壓來減小角加速度，也可通過使用更大半徑的圓盤來降低科里奧利力的影響.

用上述同樣的方法可以推導出一系列不同形狀轉盤的理論結果. 為了突出轉盤形狀對科里奧利力的影響，將角加速度歸一化，并控制各形狀轉盤的底面半徑均為R，則有：

3數值分析與仿真

為了清晰直觀看出4種轉盤所受科里奧利力的影響，使用Matlab對解析式進行數值仿真，得到一系列的三維表示圖(為清晰起見，給出不同視角的圖4和圖5). 在仿真計算中相關參量分別取為：A=0.05 m，v=30 m/s,ω=7.27×10-5rad/s,μ=100,ρa=2.34 kg/m3,ρ=103kg/m3.

從圖4中可以看出當轉體的高度固定時，圓盤、球、圓錐均呈現底面半徑越大，在無其他外力下的角加速度越小的趨勢. 同時，不同形狀的轉盤的角加速度對底面半徑的敏感度有所不同，若在高度h為4 cm以下且半徑尺寸相同，角加速度從小到大依次是圓錐、球冠、圓盤和圓球.

從圖5中可發現圓錐與球冠的圖形與圓球、圓盤均有交叉，將三維圖旋轉后發現當高度h與半徑均為4 cm以上時，角加速度從小到大依次是圓盤、圓球，球冠以及圓錐.

圖4　半徑與高對不同形狀轉盤的角加速度影響1

圖5　半徑與高對不同形狀轉盤的角加速度影響2

因此若要減小科里奧利力對氣墊轉盤的影響，則可以在高度與底面周長均小于4 cm的情況下，通過改變旋轉體形狀(比如將形狀做成圓錐)來實現；而當轉盤高度在5 cm以上且半徑較大時，圓盤受到的科里奧利力最小.

若考慮實際情況，高度小于4 cm、半徑小于10 cm的轉盤比較貼近實際裝置，則圓錐的角加速度最小，其次是球冠與圓盤.

4結束語

本文從科里奧利力對氣墊轉盤的影響為切入點，定量分析了科里奧利力導致氣墊與轉盤之間的摩擦力矩，從而使得轉盤具有一定角加速度. 結果表明，在底面半徑R或高度h變化時，科里奧利力對圓盤、球、圓錐等形狀轉盤的角加速度的影響是不同的. 另外運用Matlab進行了數值仿真，形象地表示了不同形狀轉盤的底面半徑、高度、角加速度三者的關系，進而闡述了可以通過改變轉盤形狀來減少科里奧利力的影響.

參考文獻：

[1]李訓譜. 用氣墊轉盤驗證角動量守恒[J]. 教學儀器與實驗,1986,2(1):7-9.

[2]張三慧. 大學物理學[M]. 北京：清華大學出版社,2009:60-62.

[3]謝亮，張進治，安艷偉，等. 轉動慣量測試儀的設計[J]. 物理實驗,2015,35(7):27-30.

[4]賈昱，程敏熙，安盟，等. 基于視頻分析軟件Tracker測量剛體轉動慣量[J]. 物理實驗,2014,34(5):33-35.

[5]陳淑清. 用氣墊轉盤測轉動慣量的數據處理及誤差分析[J]. 物理實驗,2003,23(3):13-15.

[6]許成科. 科里奧利力對氣墊轉盤的影響[J]. 物理通報,2012(11):24-26.

[責任編輯：郭偉]

Rotation of air-cushion turnplate without influence of external moment

LI Si-daa, TIAN Wen-zhuanga, ZHAI Hui-xinb， WU Haoc， WU Ming-hec， TENG Bao-huac

(a.Yingcai Experimental School; b.School of Communications; c.School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

Abstract:Without the influence of external moment, the rotation of air-cushion turnplate with different shapes was quantitatively researched based on the effect of Coriolis force. Furthermore, numerical simulation was utilized to illustrate visually that the change of the shape of the turnplate could reduce different effects.

Key words:Coriolis force; air-cushion turntable; angular acceleration

中圖分類號：O313.3

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2016)05-0039-03

作者簡介：李思達(1994-)，男，河北石家莊人，電子科技大學英才實驗學院2012級本科生．指導教師：滕保華(1959-)，男，重慶人，電子科技大學物理電子學院教授，博士，從事凝聚態物理教學及研究工作.

收稿日期：2015-12-29；修改日期：2016-03-19