極具挑戰的完美數

黃洪濤

今年1月7日，美國密蘇里中央大學數學家庫珀通過一個名為“互聯網梅森素數大搜索（GIMPS）”的項目，找到了目前已知的最大完美數2^74207280（2^74207281-1），即2的74207281次方-1后，再乘以2的74207280次方（注：^為計算機語言中的次冪符號）。該數是人類2500多年來發現的第49個完美數，它有44677235位數;如果用普通字號將它打印下來，其長度就可達200千米！讀者朋友可以腦補一下……連澳大利亞知名數學家帕克都認為，這是一個巨大的科學成就。那么，這會不會又是一個類似經典電影《心靈捕手》的科學探索故事呢？完美數究竟有何魅力，引得眾多數學家們前赴后繼？

完美數究竟是什么鬼？

?完美數稀少而優美，被譽為數論寶庫中的“鉆石”

完美數（Perfect Number），又稱“完全數”“完備數”或“完滿數”，它的定義是除其本身以外全部因數之和等于本身的數，這個定義看起來拗口，不如我們舉兩個例子，最小的兩個完美數就是6（其全部因數為1、2、3、6）和28（其全部因數為1、2、4、7、14、28），它們均是除其本身外各因數的和：6=1+2+3和28=1+2+4+7+14。這些數都有一些神奇的特性，因此科學家們賦予它們一個美好的名字—— 完美數。

早在公元前6世紀，古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯就發現了完美數的特性，他也是最早研究完美數的人，當時，他就已經知道6和28是完美數了。他曾經說過：“6象征著完美的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身?！辈贿^，有人認為古印度人和以前生活在西亞地區的希伯來人早就知道完美數的特征了，而古希臘人則將人們對完美數的認識提升到了一個更高的層次。

?美國數學家庫珀 ??古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯

?法國數學家、哲學家笛卡兒 ??古希臘數學家歐幾里得 ??美國數學家魯濱遜

由于完美數有許多有趣的性質和無與倫比的魅力，千百年來，一直吸引著眾多數學家和無數業余數學愛好者對它進行探究。17世紀，法國數學家、哲學家笛卡兒曾經公開預言：“能找出的完美數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美的人亦非易事。”經過了漫長的歲月，迄今為止，人類僅發現了49個完美數。這種數稀少而優美，所以被人們稱為“數論寶庫中的‘鉆石”。

公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得在其名著《幾何原本》中論述完美數時，曾提出：如果2P-1是素數，其中指數P也是素數，則2P-1（2P-1）是完美數。到了18世紀，瑞士數學家、物理學家歐拉從理論上證明了歐幾里得的推論：每一個偶完美數，必定是由2P-1（2P-1）算出的。例如，6=2^（2-1）（2^2-1）=2×3;28=2^（3-1）（2^3-1）=4×7。由此可知，人們只要找到2P-1型素數，就可以發現完美數了。

?伊利諾伊大學數學系蓋的郵戳

發現梅森素數的競逐

后來，找尋完美數要用到的2P-1型素數，被數學界冠以“梅森素數（Mersenne Prime）”的名號，它是以17世紀的法國數學家梅森命名的，因為他對這種特殊素數做了較為系統和深入的研究。有趣的是，近百年來，人們發現的“超大素數”，幾乎都是梅森素數。

其實，梅森素數貌似簡單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要艱巨的計算和強大的運算量。1772年，歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了231-1（即2147483647）是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時已知的最大素數。而第8個完美數——230（231-1）也由此而來，這也是當時人們發現的最大完美數。歐拉的頑強毅力和解題技巧，令人贊嘆不已。法國大數學家拉普拉斯說的話，或許可以代表我們的心聲：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師?！?/p>

在“手算筆錄”的年代，人們前赴后繼、歷盡艱辛，只找到12個梅森素數;也就是說，只有12個完美數被發現。而電子計算機的產生，大大加快了梅森素數的探究進程。例如，1952年，美國數學家魯濱遜將“盧卡斯-萊默檢驗法”編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在幾個月內，就找到了5個梅森素數：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。

探究梅森素數，不僅極富挑戰性，而且對探究者來說，有一種巨大的自豪感，這也許就是無數數學英豪競折腰的原因吧！1963年6月2日晚上8點，當第23個梅森素數211213-1通過大型計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一重要消息。而發現這個素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生，更是在無比驕傲的同時，為了讓全世界都分享這一重大成果，把所有從系里發出的信封，都蓋上了“211213-1是個素數”的郵戳，其狂熱程度表現得淋漓盡致。

隨著指數P值的增大，每一個梅森素數的產生都艱辛無比。而數學家和業余數學愛好者仍樂此不疲，競相搶取先機。1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布，他們找到第26個梅森素數223209-1時，有人告訴他們：就在兩個星期前，美國加州的高中生諾爾就已經給出了同樣的結果。為此，他們潛心發奮，又花了一個半月的時間，使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數244497-1。這件事，成了當時不少主流報紙的頭版新聞。后來，史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數，因而被人們譽為“素數大王”。

值得一提的是，人們在尋找梅森素數的同時，對它的分布規律的研究也一直在進行著。從已發現的梅森素數來看，它在正整數中的分布時疏時密、極不規則，因此，研究梅森素數的分布規律，似乎比尋找新的梅森素數更為困難。

英、法、德、美等國的數學家都曾經給出過有關梅森素數分布的猜測，但他們的猜測都以近似表達式給出，而與實際情況的接近程度均差強人意。中國數學家、語言學家周海中經過多年的努力，于1992年2月首先給出了梅森素數分布的精確表達式。后來，這一重大成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主塞爾伯格認為，周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法;其創新性還表現在揭示新的規律上。

?Intel核心處理器常用尋找梅森素數這樣大運算量的數學難題進行自測

后來，分布式計算技術的出現，使梅森素數的探究如虎添翼。1996年初，美國計算機專家沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，并放在網上供數學家和業余數學愛好者免費使用。這就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全世界第一個基于互聯網的分布式計算項目。該項目主要利用大量普通計算機的閑置處理能力，來獲得相當于超級計算機的運算能力。美國計算機專家庫爾沃斯基于1997年建立了“素數網”，使分配搜索區間和向GIMPS發送報告自動化。人們只要從該項目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素數了。

為了激勵人們尋找梅森素數，促進網格技術的發展，總部設在美國的電子前沿基金會（EFF）還于1999年3月向全世界宣布，為通過GIMPS項目來尋找梅森素數而設立“協同計算獎”，該獎項向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元，后面的獎金依次為：超過1000萬位數，10萬美元;超過1億位數，15萬美元;超過10億位數，25萬美元。但絕大多數研究者參與該項目并不是為了金錢，而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。而且，梅森素數的探究正吸引著越來越多普通數學愛好者的加入。

1999年6月，住在美國密歇根州的數學愛好者哈吉拉特瓦拉通過GIMPS項目找到了第一個超過100萬位的梅森素數26972593-1，他成了第一個獲得該獎勵的人。該數是第38個梅森素數，也是20世紀發現的最后一個梅森素數。哈吉拉特瓦拉是一家公司的總裁，他在接受媒體采訪時說：“兩年前憑好奇心和求知欲參加了GIMPS項目，我的運氣還算不錯，只在計算機上進行了3個星期的持續運算，就發現了這個‘寶貝?！?/p>

美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家史密斯于2008年首先發現超過1000萬位的梅森素數——243112609-1，該數有12978189位;他也因此獲得了EFF頒出的10萬美元大獎。這一重大成就，被《時代》雜志評為“2008年度50項最佳發明”之一。不過，史密斯是私自利用學校的75臺計算機參加GIMPS項目的;本來這種行為應該被處罰，但鑒于他為學校爭了光，反而受到了校方的表彰。

目前，全球已經有192個國家和地區、60多萬人使用超過125萬個中央處理器（CPU）參與GIMPS項目。迄今為止，人們通過該項目已經找到15個梅森素數;也可以說，人們通過該項目已經發現15個完美數。其發現者來自美國、德國、英國、法國等地。英國數學協會主席、《素數的音樂》一書作者索托伊在2009年于南京講學時還說，希望也能有中國人加入梅森素數的發現大賽中。

梅森素數的應用前景

完美數的族群，反映了自然數中的某些基本規律，目前其實際用途還在不斷探尋。不過，構成完美數的關鍵部分——梅森素數的價值，在當代已經越來越受到重視。

在計算機檢測技術方面，梅森素數的尋找可以發現計算機芯片存在的問題。最近，德國一名GIMPS項目的參與者發現：當使用英特爾第六代核心處理器Intel Skylake執行Prime95應用來尋找梅森素數時，運算到指數P=14942209就出現了觸發系統死機的漏洞。其實，從20世紀90年代開始，美國克雷公司、蘋果公司等就開始利用梅森素數來測試計算機的功能;其原理是通過CPU不斷地進行梅森素數的運算，讓CPU工作在大負荷下，并借此考驗其系統的穩定性。此外，梅森素數在密碼學方面有著潛在的應用：在密碼設計中，需要使用較大的素數，而素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。

最后值得一提的是，在被發現的49個完美數中，的確統統都是偶數。那么，是否存在奇數的完美數呢？另外，是否存在無窮多個完美數？這些問題，都是著名的數學難題，有待更多后繼者的破解。