Lagrange乘數法速解一類高考題

◎丁揚愷

(浙江省柯橋中學,浙江 紹興 312030)

Lagrange乘數法速解一類高考題

◎丁揚愷

(浙江省柯橋中學,浙江 紹興 312030)

本文通過引入Lagrange函數，解決了高考真題及調研題中一類多元函數的最值問題，再分別細化到二元參數單約束條件和雙約束條件下的最值，歸納通性解法，拓寬了解題思路.

Lagrange函數；單約束條件；雙約束條件；最值

在高考復習當中，不等式的最值問題常常是眾多老師凝注的焦點，試圖尋找通解法.簡單的一元不等式最值常采用放縮或是構造函數，但基于二元函數的最值，如果不能單純地利用條件變雙變元為單變元，則需要比較高的構造技巧.筆者鑒于此引入高等數學中Lagrange乘數法，雖然涉及偏導數的知識，但對于基礎好的學生來說并不難理解，在“高觀點”下對于學生參加數學競賽或是解答高考填空題大有裨益.本文以Lagrange函數為依托，試圖解決高考中一類多變量下的最值問題，希望能引起廣大讀者的共勉.

Lagrange乘數介紹：在關系式：φi(p)=0(i=1,…,m;m

一、二元參數單約束條件下的最值問題

若改成Lagrange乘數，注意到條件極值2a+b=3ab，目標函數為4ab+2，只需構造L(a,b)=4ab+2+λ(2a+b-3ab).

例2 (2015寧波期末)若正數x,y滿足x2+4y2+x+2y=1，則xy的最大值為________.

該題是2011年·浙江卷·理16改編，如果采用構造Lagrange函數得：

L(x,y)=xy+λ(x2+4y2+x+2y-1).

?(2x+y-1)(x-2y)=0.

二、單參數雙約束條件下的最值問題

例4 (2014浙江高考文科)已知實數a,b,c,滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值________.

該問題是兩個約束條件下的最值問題，故可構造L(a,b,c)=a-λ(a+b+c)-μ(a2+b2+c2-1).

欲使|2a+b|最大時，即(2a+b)2最大，構造Lagrange函數：

L(a,b)=(2a+b)2-λ(4a2-2ab+4b2-c).

代入4a2-2ab+4b2-c=0，得c=10b2.

通過以上兩大類高考及調研試題分析，我們可以體會到在多元最值求解中，利用Lagrange乘數法具有同解性，可以有效回避不等式中復雜的思維過程和代數變形，希望能給讀者帶來啟示.

[1]丁揚愷.一題引發的背景、變式及推廣[J].上海中學數學，2015(12).

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]甘志國.初等數學研究(下)[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2009.