問渠哪得清如許，為有源頭活水來
——一道數列問題的探究與反思

◎高福嵐

(河北衡水一中，河北 衡水 053000)

問渠哪得清如許，為有源頭活水來
——一道數列問題的探究與反思

◎高福嵐

(河北衡水一中，河北 衡水 053000)

在數學的學習中掌握方法，可以不變應萬變，歸納重要題型的解題方法尤為重要.

例 已知數列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2，n≥3，n∈N*，求數列{an}通項公式.

解法一 由題意得，an+an-1=3an-1+3an-2=3(an-1+an-2),

即：{an+an-1}是一個公比為3的等比數列，

an+1+an=(a2+a1)×3n-1=7×3n-1，

解法一首先把相鄰三項的關系的遞推公式轉化為相鄰兩項的關系的遞推公式，構造新等比數列，在新等比數列通項公式(兩項的遞推公式)基礎上再轉換為熟悉的兩項的遞推公式.最后構造等比數列求解.

解法二 由題意得，an+an-1=3an-1+3an-2=3(an-1+an-2),

即：{an+an-1}是一個公比為3的等比數列，

an+1+an=(a2+a1)×3n-1=7×3n-1，

an+an-1=7×3n-2，

于是有an+1-an-1=14×3n-2，

已知a1=5，所以有

(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2k-1-a2k-3)

=a2k-1-a1=14×32-2+14×34-2+…+14×32k-4

同理已知a2=2，所以有

(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2k-a2k-2)

=a2k-a2=14×33-2+14×35-2+…+14×32k-3

水擊中流揚帆進，乘風破浪正當時。今天，云南民營經濟已成為云南省拉動投資增長的主要動力、創業就業的主力軍、財政收入的重要來源、促進對外貿易的主要力量、繁榮市場的主體力量。東風已至，在改革開放的偉大歷史進程中，云南民營經濟將繼續演繹“春天的故事”。

解法二也是首先把相鄰三項的關系的遞推公式轉化為相鄰兩項的關系的遞推公式，構造新等比數列，在新等比數列通項公式(兩項的遞推公式)基礎上構造奇(偶)數項的遞推公式(熟悉的兩項的遞推公式)，最后累加求解.

解法三：

由題意得，an+an-1=3an-1+3an-2=3(an-1+an-2),

即：{an+an-1}是一個公比為3的等比數列，

an+1+an=(a2+a1)×3n-1=7×3n-1，

當n為奇數時，

解法三也是首先把相鄰三項的關系的遞推公式轉化為相鄰兩項的關系的遞推公式，構造新等比數列，在新等比數列通項公式(兩項的遞推公式)基礎上求得前n項和.進而數列求解.

反思 人們常說“飲水思源”，我們做題又何嘗不是呢？筆者不禁想到南宋詩人朱熹《觀書有感》的一句詩“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.只要我們抓住問題的相似處和本質，多聯系，多想象，就能做到砸實基礎，舉一反三，觸類旁通，提升思維能力與創新能力.