掌握導數符號判定的三種方法

◎代 皋

(東區中學，廣東 中山 528403)

掌握導數符號判定的三種方法

◎代 皋

(東區中學，廣東 中山 528403)

導數是解決函數單調性的有力工具，導數符號就是判斷或求解函數單調性問題的關鍵.課本例題中，給出了三種常見的方法：觀察法、不等式法、根分區間法.老師要指導學生進行總結歸納，從而提高學生的解題能力.

觀察法；不等式法；根分區間法

導數是解決函數單調性的有力工具，導數符號的判斷就是求解函數單調性問題的關鍵.教師在教學時，只列出用導數處理問題的幾個步驟，而在導數符號判定的這一關鍵點上沒有講清楚，導致學生在解題時不知如何判斷導數符號，影響問題的進一步解決.其實在課本例題中，給出了三種常見的方法，歸納總結如下.

一、觀察法

函數f(x)求導后，導函數f′(x)的符號可以直接確定.例如課本中例題：判斷下列函數的單調性，并求出單調區間：(1)f(x)=x3+3x，(2)f(x)=sinx-x(x∈(0,π))，求導后f′(x)=3x2+3，f′(x)=cosx-1，經過觀察，導數符號在定義區間內可以直接確定.(1)f′(x)>0，(2)f′(x)<0，問題顯然得以解決.

觀察法是判斷導數符號的首要方法，平常的教學(或解題)中，針對問題的解決，培養學生觀察的習慣，而不是去單純模仿，這對學生能力的提高是有益的.

二、不等式法

求導后，導函數為一次函數、二次函數或其他簡單的超越函數，導數符號可正可負，我們可采用判定定理中的方法令f′(x)>0或f′(x)<0求解.例如課本中例習題：f(x)=2x3+3x2-24x+1,f(x)=ex-x，求導后f′(x)=6x2+9x2-24，f′(x)=ex-1，令f′(x)>0或f′(x)<0即可解決.但此法對有含參數的函數式或對定義域有限制的函數求解不好使用，可用第三種方法.

三、根分區間法

這是判斷導數符號的常用方法.課本中，這一方法是在求極值的例題中出現的(即例題表格中的內容)，總結出來便是根分區間法.其方法是求導后令f′(x)=0，解出方程根，畫出數軸，用根將定義域分成幾個區間，根據代值檢驗法或圖像法判斷每一個區間上導數符號.

分析f′(x)=x2-4，令f′(x)=0，解得x=2或x=-2，兩根將定義域(-∞,+∞)分為三個區間如下(畫數軸，根在定義域內標實點，不在定義域內標空圈).

①代值檢驗：分別從三區間中選-3，0，3代入f′(x)得出導數符號為+,-,+.

②圖像法：畫出導函數f′(x)的示意圖像，圖像在x軸上方f′(x)為正，下方f′(x)為負.

解f′(x)=x2-4，令f′(x)=0，解得x=2或x=-2，列表如下：

x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗

所以，f(x)的增區間為(-∞,-2)，(2,+∞)；減區間為(-2,2).

函數單調性是高考重點考查的內容之一，其中含參討論是常考題型.學生在處理這類問題時往往不知道怎樣討論導數符號，運用課本上的三種基本方法解決此類問題,思路將變得清晰自然.

例 (2015新課標全國卷文21)已知函數f(x)=lnx+a(1-x)，討論f(x)的單調性.

①首先用觀察法，可以快速定號；因為x>0，所以a≤0時，f′(x)>0；

由上可知，復習知識我們要回歸課本，善于歸納總結.正如數學家華羅庚先生提出的“由薄到厚，由厚到薄”，就是不斷歸納概括的學習過程.而數學教師要引導和善于指導學生進行方法的歸納.特別是高三總復習，學生幾乎是陷入題海之中，之所以學生做了很多的題，學得那么辛苦，效果還是不好，原因之一就是因為教師缺少歸納總結，特別是沒有帶領學生對解題的規律進行歸納總結.