淺談用面積法解線段的相關問題

◎張三華

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637002)

淺談用面積法解線段的相關問題

◎張三華

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637002)

線段是構成幾何圖形的重要元素.本文用面積法解初等幾何中的線段的線性關系問題和線段的不等問題.

線段；線性關系

初等幾何主要研究幾何的度量問題和點線的結合問題、線線的平行和垂直問題、點的軌跡問題等.線段的相關問題是初等幾何的重要問題.平面幾何中多邊形可以劃分為多個三角形.因此本文用三角形的面積公式解初等幾何中的線段的線性關系問題、線段的不等問題.

一、利用面積法解線段的線性關系問題

線段的線性關系是指線段之間的加、減、倍、分的關系.解決線段的線性關系通常把含有多線段的等式的一邊,通過作和、作差、作倍、作分等方法表示為一線段，然后轉化為相等線段的問題來解決，這種方法往往需要添加多條輔助線，有時由于輔助線的添加不合適，給解決問題帶來了一定的困難.用面積法解線段的線性關系時,添加輔助線較少,有時還不需要添加輔助線,直接利用面積公式和線段的關系,就可以解決問題.

例1 如圖1，在△P1P2P3中，P1P2=P1P3，P4是邊P2P3上的任意一點，P4P5⊥P1P3，P4P6⊥P1P2，P3P7⊥P1P2，求證：P3P7=P4P5+P4P6.

圖1

圖2

證明 如圖2,連接P1P4,由已知有

例2 如圖3,點P4,P5是邊P1P2,P1P3的中點,求證：P2P3=2P4P5.

圖3

證明 如圖3,由于點P4,P5是邊P1P2,P1P3的中點,

所以P1P2=2P1P4,P1P3=2P1P5,P2P3∥P4P5,∠P1P2P3=∠P1P4P5,

有P1P4·P2P3sin∠P1P2P3=2P1P4·P4P5sin∠P1P4P5,

即P2P3=2P4P5.

二、利用面積法解不等量問題

初等幾何中的不等量就是線段的不等關系與角度的不等關系,通常把多個不等量的關系轉化為兩個不等量的關系.在轉化的過程中,需要添加多條輔助線,給解決問題帶來了一定的困難.利用面積法解不等量問題,添加輔助線較少,有時還不需要添加輔助線,直接利用面積公式和線段的關系,找到不等量的關系,從而解決問題.

例3 如圖4,在△P1P2P3中,P2P4,P3P5分別是邊P3P1,P1P2的高線.若P1P2>P1P3,求證：P1P2+P3P5≥P1P3+P2P4.

圖4

證明 如圖4,P2P4⊥P1P3,P3P5⊥P1P2,

由已知P1P2-P1P3>0,

又P1P2≥P2P4,所以P1P2-P1P3≥P2P4-P3P5,

故有P1P2+P3P5≥P1P3+P2P4.