巧用“分界點”解決一類含參討論問題

◎朱 薇

(南海一中,廣東 佛山 528000)

巧用“分界點”解決一類含參討論問題

◎朱 薇

(南海一中,廣東 佛山 528000)

對這類導函數涉及二次函數的分類討論問題，首先要解決的任務是分類準確，有沒有簡便易操作的方法讓學生輕松完成這個步驟？我們可以直接把以上三種情況“=0”時參數的值算出來就找到了參數的“分界點”.在已知條件下，用這些“分界點”去分參數，可以保證所分出來的類“不重不漏”.

分界點；函數；含參討論

一、引出“分界點”的含義

例1 (2009年福建)點A為周長等于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為________.

二、提出問題

例2 (2011年廣東文)設a>0,討論函數f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調性.

【考點】利用導數研究函數的單調性.

解 定義域{x|x>0}.

設g(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1，x∈(0，+∞).

①若a=1，則g(x)=1>0,

∴在(0，+∞)上有f′(x)>0，即f(x)在(0，+∞)上是增函數.

②若a>1，則2a(1-a)<0，g(x)的圖像開口向下，

此時Δ=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a)>0.

方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0有兩個不等的實根,

③若00，g(x)的圖像開口向上，

此時Δ=[-2(1-a)]2-4×2a(1-a)×1=4(1-a)(1-3a),

即f′(x)≥0，f(x)是增函數；

即f′(x)>0，f(x)是增函數；

g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)是減函數.

分析 這道題這里我們研究利用導數求單調區間的含參討論問題，而這個導函數是靈活的二次函數.在這一題，不少高三同學是選擇放棄或得分較低的，因為復習了一年，還是不能很好地處理，主要是突破不了對參數的分類.有些同學因為一直不是很會分，總是不敢下手，部分同學思路是有的，但因為這類題對思維的嚴謹性和完整性要求較高，所以有時考場一緊張，分類方面就多分或少分或分錯而造成得分不高.

三、分析問題

思路突破：這道題在求好導函數和定義域后，其實本質就是解決導函數所對應的方程在定義域內根的分布問題.這時，我們需要畫圖，在確定圖像時我們主要考慮三個問題：

1.二次項x2前面的系數是“>0”“=0”還是“<0”?(確定拋物線的開口方向)

2.判別式Δ是“>0”“=0”還是“<0”？(確定拋物線與x軸的交點情況)

3.定義域所在區間的端點函數值是“>0”“=0”還是“<0”？(確定拋物線與x軸的交點相對于定義域的分布，從而確定定義域內零點情況)

四、解決問題

事實上，我們可以直接把以上三種情況“=0”時參數的值算出來就找到了參數的“分界點”了.在已經條件下，用這些“分界點”去分參數，可以保證所分出來的類“不重不漏”.在正確的分類下，學生再往下處理，就會事半功倍.

題目 設a>0,討論函數f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的單調性.

解析 第一步：函數f(x)的定義域為(0，+∞)，

第二步：確定“分界點”.

(1)令二次項前面的系數2a(1-a)=0,解得：a=0或a=1.

(3)求出定義域(0,+∞)所在區間的端點函數值f′(0),若仍然含有參數a,繼續令f′(0)=0，求出“分界點”.而此題f′(0)=1>0,說明此處沒有“分界點”提供了.

五、總 結

本文主要希望通過比較直接的方法讓大多數學生在含參分類討論中學會使用“分界點”進行分類，做到不重不漏.其實，這種“分界點”的思想可以滲透到很多涉及不等關系的題目當中.要知道，解不等關系的基礎是，先解等量關系，而我們同學最熟悉的莫過于“=”了.