知識與能力并駕 思想與經驗齊驅
——“一元二次方程的解法”教學案例與反思

◎胡 珺

(南京市中華中學，南京 秦淮 210006)

知識與能力并駕 思想與經驗齊驅
——“一元二次方程的解法”教學案例與反思

◎胡 珺

(南京市中華中學，南京 秦淮 210006)

一、問題提出

“一元二次方程的解法”是“一元二次方程”這一章的核心內容.從教材上看，本節內容分別研究了“直接開平方法”“配方法”“公式法”以及“因式分解法”.

在此之前學生已經掌握了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，其中二元一次方程組和分式方程都是通過適當的方法轉化為一元一次方程求解的.如果按照教材原有的設計組織教學，學生可以按部就班地掌握這幾種解法，但這些解法中蘊含的本質不一定能很好地體現出來.筆者思考：對于基礎比較好的班級，是否能以此為契機，通過對教材的整合，引導學生自己去探究，發現一元二次方程的解法中所蘊含的本質思想，并最終將所學的方程融會貫通，建立相應的知識網絡呢？

二、問題解決

選擇適當的標準對一元二次方程進行分類，讓學生對不同“類型”的方程進行探究，將“直接開平方法”“配方法”“因式分解法”自然地整合到一起.

(一)教學案例

1.情境創設

問題1：我們已經學過哪些方程(組)？

生：學過一元一次方程、二元一次方程組還有分式方程.

追問：那我們是如何解這些方程的？

師生活動：學生回答并相互補充，教師幫助其進行總結：二元一次方程組通過消元法轉化為一元一次方程，分式方程通過去分母轉化為一元一次方程.

【設計意圖：通過回顧一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的解法，讓學生感受到二元一次方程組和分式方程都可以通過適當的方法轉化為一元一次方程加以解決，初步讓學生體會解方程中的核心思想——轉化思想，這時學生很容易產生猜想：一元二次方程也能通過這樣的方法來求解嗎？激發了學生的求知欲望.】

問題2：什么樣的方程是一元二次方程？

生：一個方程如果可以整理為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，這個方程就叫作一元二次方程.

追問1：為什么要強調“a≠0”？

追問2：規定b，c一定不為0嗎？

追問3：根據b，c是否取零，能對一元二次方程進行分類嗎？請每一類各舉出一個具體的例子.

師生活動：學生回答并相互補充，教師板書：

①b=0，c=0，如2x2=0;②b=0，c≠0，如x2-9=0;

③b≠0，c=0，如x2-4x=0;④b≠0，c≠0，如x2+8x-2=0.

【設計意圖：無論怎樣的一元二次方程，經過化簡、整理一定可以成為以上四種形式中的一種.這樣分類以后，就給我們研究一元二次方程的解法提供了多個可以選擇的切入點，為后面學生的自主探究做了必要的鋪墊.】

2.探索活動

問題3：以上四個一元二次方程中你能解幾個？

【設計意圖：預設大部分學生能比較輕松地解①、②兩個方程，而對③、④兩個方程可以引導學生進行小組討論、交流.教師在巡視過程中也可以發現學生在解題中暴露出來的問題.】

師生活動：

①2x2=0

解：x2=0，∴x=0.

【說明：這里暫時不討論等根問題.】

②x2-9=0

解：x2=9.

x=±3,即x1=3，x2=-3.

③x2-4x=0

解：x2-4x+4=4,∴(x-2)2=4,∴x-2=±2.

即x-2=2或x-2=-2,∴x1=4，x2=0.

追問：為什么要在方程的兩邊加上4？

生：兩邊加上4以后方程的左邊就可以配成完全平方式了.

④x2+8x-2=0.

解：x2+8x=2,x2+8x+16=2+16,

追問1：請比較上面①、②兩個方程，它們有什么區別和聯系呢？

師生活動：區別在于①中b=0，c=0；②中b=0，c≠0，但兩個方程通過等式的基本性質都可以轉化為x2=m的形式，然后兩邊直接開平方.

追問2：如果一個方程可以轉化為x2=m的形式，m取任何實數，這個方程都有實數解嗎？

生：只有m≥0時，方程才有解.

追問3：請比較上面③、④兩個方程，它們有什么區別和聯系呢？

師生活動：區別在于③中，b≠0，c=0；④中b≠0，c≠0，但通過在方程的左、右兩邊加上一個適當的數可以把方程左邊化為一個完全平方式，最終將兩個方程都轉化為(x+k)2=m的形式.

追問4：加上的這個數是怎么確定下來的呢？

師生活動：學生分組進行討論，互相補充并總結，根據完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2可以推出所加上的數應該是一次項系數一半的平方.

追問：再請同學回頭思考一下x2-4x=0這個方程還有其他的解法嗎？

生：移項得x2=4x，兩邊約去x，得x=4.

追問：這種解法正確嗎？為什么比前面的方法少了一個解呢？

師生活動：讓學生討論后進行分析，該解法錯誤的原因是等式的兩邊約掉x的時候，沒有討論x是否為0，所以漏解了，如果對x是否為0進行分類討論，也不失為一種解法.

生：對x2-4x=0的左邊進行因式分解，得到x(x-4)=0，∴x=0或x-4=0,即x1=0，x2=4.

【設計意圖：讓學生體會一題多解和多題一解.】

3.歸納總結

師生活動：共同回顧以上幾種一元二次方程的解法，總結這些方法的名稱及步驟，教師板書.

①直接開平方法、②配方法、③因式分解法.

總結：這些方法都可以將一元二次方程轉化為一元一次方程來解決，和前面所學的二元一次方程組以及分式方程的思想方法都是相通的.可以綜合起來形成相應的知識網絡.

4.思維拓展

問題4：解方程x3-x=0.

【設計意圖：根據最近發展區原則，再次刺激學生的認知，感受到方程解法的核心思想——轉化思想，學會思考如何將不熟悉的方程通過合適的方法轉化為熟悉的方程.】

(二)設計說明

該教學設計以“轉化思想”為靈魂，貫穿始終，引導學生對所學方程(組)的相關知識進行回顧、歸納、總結，使之結構化、系統化；通過對不同類型方程解法的關鍵步驟之間的比較，感悟在解方程(組)過程中所滲透的數學思想，建立知識網絡，提高學生數學能力和素養；引導學生運用歸納總結出的思想方法解決新的問題，鍛煉分析問題和解決問題的能力.

由于課時的限制，對于配方法的研究還不夠深入，特別對于二次項系數不為1的情況，包括對公式法的研究也沒有進行.這些內容將在下一課時完成.

三、問題反思

通過這次實踐，筆者深深體會到教學設計時不必拘泥于課本，在不偏離教學本質的前提下，針對學生的實際情況，可以對教材的基本素材進行合理的調整，使之更契合學生的認知基礎和教學情境.

本節內容中，原本需要3課時的“直接開平方法”“配方法”“因式分解法”用一節課的時間就完成了，雖然內容較多，但精心設計的問題串使難點得以突破.在課堂教學中，并沒有因為“解方程”是操作技能問題而采取例題、模仿、訓練的教學模式，堅持思維領先，探索前進的原則，將研究一元二次方程解法的過程設計為讓學生“先實踐，再深化認識”的過程，這樣把探求解法的過程交給學生，在實踐中提高了獨立操作的能力，在歸納總結中加深對方程的理解和認識，這樣既提升學生獨立學習的信心，也提高了學生解方程的技能，體現了以提高學生數學素養為核心的數學教育理念.