從n=k到n=k+1的“高能”遞推
——“數列不等式的證明”教學設計

◎胡媛媛

(安徽省合肥市第一中學，安徽 合肥 230601)

從n=k到n=k+1的“高能”遞推
——“數列不等式的證明”教學設計

◎胡媛媛

(安徽省合肥市第一中學，安徽 合肥 230601)

數列是高中數學的主干內容之一，也是高考的重點考查對象.筆者通過對近幾年各地高考試題的研究發現，有一類數列不等式的證明問題時有考查，而且占據高考最后一題的地位.但是，學生的答題情況卻很不樂觀，究其根本應該是學生不知該如何著手進行求證.事實上，數學歸納法是解決這類問題的有效手段，因此筆者根據學生的這一實際情況，在高考一輪復習“數學歸納法”之后，添加了一系列關于“數列不等式的證明”的復習專題課，現擇取其中第一課時的教學設計如下，歡迎同仁批評指正.

數列；不等式；數學歸納法

一、教學定位及難點

本堂專題課主要針對已知數列遞推公式，證明數列單調性及有界性的題型，向學生引入數學歸納法來解決此類數列不等式的證明問題，筆者希望學生可以通過學習進一步體會數列遞推公式在數學歸納法的歸納遞推中的妙用，而其教學難點是歸納遞推中函數單調性的應用.

二、教學過程及設計意圖

思考一會兒后請學生談一談解題思路.

生1：本題可以通過先求數列{an}的通項公式，就是對遞推公式兩邊取對數，再構造等比數列求出通項公式，然后再對判斷通項取值范圍的問題進行證明.

師：很好，用數列的遞推公式求通項公式一直是我們高考的重難點，生1對這一內容掌握得相當好.不過，有沒有同學有其他思路？

生2：這是一道“對一切正整數n都成立”的命題，是不是可以用數學歸納法來解決？

師：我們可以試一試.

證明 ①n=1時，a1=1∈[0,1]，不等式顯然成立；

②假設n=k(k≥1)時，0≤ak≤1，

那么n=k+1時，∵f(x)在區間[0,1]上單增，

∴0≤ak+1≤1，即n=k+1時不等式也成立.

由①②可知，0≤an≤1對一切正整數n都成立.

設計意圖 本題旨在讓學生通過比較，發現直接用數學歸納法證明的優勢.

變式1 (改編自2008年安徽卷理21)

設函數f(x)=cx3+1-c，其中c∈[0,1]，數列{an}滿足a1=0，an+1=f(an)(n∈N*)，求證：0≤an≤1對一切正整數n都成立.

教師適當引導，學生完成證明過程.

證明 ①n=1時，a1=0∈[0,1]，不等式顯然成立；

②假設n=k(k≥1)時，0≤ak≤1，

那么n=k+1時，∵f′(x)=3cx2≥0，

∴f(x)在區間[0,1]上單增，

∴0≤1-c=f(0)≤f(ak)≤f(1)=1，

∴0≤ak+1≤1，即n=k+1時不等式也成立.

由①②可知，0≤an≤1對一切正整數n都成立.

設計意圖 讓學生學會運用數學歸納法證明與通項取值范圍有關的數列不等式，并體會函數單調性及有界性在歸納遞推證明中的作用.

變式2 (改編自2008年全國卷1理22)

(1)求證：函數f(x)在區間(0,1)上是增函數；

(2)求證：0

師：若沒有(1)，就不容易證(2)，題(1)為證明題(2)提供了思路.此例中除了求證數列通項的范圍(即數列有界性)外，還添加了數列單調性的證明，我們也可以用數學歸納法證明嗎？讓我們一起試一試.

證明 (1)f′(x)=1-(lnx+1)=-lnx.

∵00,

∴f(x)在區間(0,1)上單增.

(2)用數學歸納法證明：0

即0

②假設n=k(k≥1)時，0

那么n=k+1時，∵f(x)在區間(0,1)上單增，

∴f(ak)

∴0

即n=k+1時不等式也成立.

由①②可知，0

說明 此題歸納遞推的證明中，雖然f(0)沒有意義，但ak+1>0是歸納假設中已經有的，所以可以直接用.

設計意圖 通過給出首項及題目本身隱含條件an>0，降低題目難度，讓學生把精力著重放在體會函數單調性及有界性在歸納遞推證明中的作用.

師：通過這三個題目，同學們能不能談一談有什么收獲？

(學生總結，教師完善補充)

收獲 數學歸納法的第二步是從n=k到n=k+1的遞推證明，而數列的遞推公式也是從n=k到n=k+1的一種遞推關系，所以我們可以利用數列遞推公式中蘊含的an+1關于an的函數關系來完成數學歸納法中從n=k到n=k+1的遞推證明.

課堂小結 1.數學歸納法：證明一個與正整數n有關的命題：

(1)歸納奠基：證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立；

(2)歸納遞推：假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立，證明n=k+1時命題也成立.

由(1)(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數都成立.

2.已知數列遞推公式，可運用數學歸納法證明數列通項的范圍(有界性)及數列的單調性.

三、教學體會

數列不等式的證明，因其方法的靈活性與綜合性強成為高中數學教學難點，同時它考查了學生整體的數學素質和能力，又成為近幾年高考的熱點，因此有必要對數列不等式進行進一步的研究.

高三數學復習時間緊，任務重，可我們卻仍舊容易陷入“題海戰術”的誤區，筆者認為：

1.我們的復習課在理清有關基礎知識、基本方法的基礎上，要使它們結成塊，組成網，進而構建研究相關對象的思路和方法.本節課所介紹的方法就是利用數列遞推公式中蘊含的an+1關于an的函數關系來完成數學歸納法中從n=k到n=k+1的遞推證明.

2.針對高三繁重的復習任務，我們更應該給學生減壓，課堂上在精選例題的基礎上，進行變式訓練，舉一反三，觸類旁通.

[1]王宇丹.幾種類型的不等式證明[J].理科考試研究，2014(23)：3.

[2]龔勤.數列不等式的證明方法[J].中學數學教學參考，2015(21)：74-75.