梅森素數奇聞軼事

胡曉昕

素數，又叫質數，是只能被自身和1整除的數。2300年前，古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素數有無窮多個，并提出少量素數可寫成“2P-1”（其中指數P也是一個素數）的形式。由于2P-1型素數具有許多獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著許多數學家和無數業余數學愛好者對它進行探究。這種特殊素數被稱為“梅森素數”（the Mersenne prime）。迄今為止，人類僅發現了49個梅森素數。梅森素數被譽為“數海明珠”，在探究它的過程中，曾經出現過不少奇聞趣事呢。

“數學英雄”歸歐拉

2P-1型素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其探究難度就會很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱難的計算。1772年，瑞士數學家、物理學家歐拉在雙目失明的情況下，花了兩天的時間，靠心算證明了231-1（即2147483647）是第8個梅森素數。這個具有10位的素數，堪稱當時世界上已知的最大素數。

歐拉第一個證實了梅森的預言——“231-1是個素數”；他證明這一素數的頑強毅力和解題技巧都令人贊嘆不已，他也因此獲得了“數學英雄”的美名。難怪法國大數學家拉普拉斯經常對他的學生說：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師。”

蓋上素數的郵戳

1963年6月2日晚上8點，當美國數學家吉利斯領導的研究小組通過大型計算機找到第23個梅森素數——211213-1時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，在第一時間發布了這一振奮人心的消息。

吉利斯所在的伊利諾伊大學數學系為這一重大發現感到無比驕傲。為了讓全世界都分享這一研究成果，以致于把所有從系里發出的信件上都蓋上了“211213-1是個素數”的郵戳。這一做法一直延續到1976年該系數學家證明著名的“四色定理”為止。

“素數大王”的誕生

隨著指數P值的增大，每一個梅森素數的產生都艱辛無比；而數學家和業余數學愛好者仍樂此不疲，激烈競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數——223209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經給出了同樣結果。

為此他們潛心發奮，繼續尋找，使用Cray-1型超級計算機，并花了一個半月的時間，終于找到了新的梅森素數——244497-1。這件事成了當時不少主流報紙的頭版新聞。后來史洛溫斯基還獨自發現了6個梅森素數，因而被人們譽為“素數大王”。順帶一提，目前找到梅森素數最多的單位是美國加州大學洛杉磯分校數學系，一共發現8個。

靈機一動見曙光

梅森素數的分布時疏時密、極不規則，因此探究梅森素數的重要性質——分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為復雜。英、法、德、美等國的數學家都曾分別給出過有關梅森素數分布的猜測，但他們的猜測都以近似表達式給出，而且與實際情況的接近程度均難如人意。中國數學家、語言學家周海中1976年在廣東雷州半島當“下鄉知青”時就開始探究梅森素數的分布規律。他有過無數次的失敗，但并不氣餒。有一天，他在閱讀一本關于法國數學家費馬的書時，突然想到了“費馬數”的形式，這為他日后解決這一難題找到了突破口。

經過多年的不懈努力，周海中終于在1992年正式提出了以精確表達式給出的梅森素數分布的猜測。后來這項重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。

網格技術顯身手

在“手算筆錄”的年代，人們僅找到12個梅森素數。而計算機的誕生，尤其是網格技術的出現，加速了梅森素數探究的進程。1996年，美國數學家、程序設計師沃特曼編制了一個梅森素數計算程序，把它放在網頁上供數學家和業余數學愛好者免費使用。它就是舉世聞名的“互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）項目。該項目采取網格計算的方式，并利用大量普通計算機的閑置處理能力來獲得相當于超級計算機的運算能力。為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術發展，總部設在美國的電子新領域基金會1999年設立了專項獎金懸賞參與GIMPS項目的梅森素數發現者；但絕大多數研究者參與該項目不是為了金錢而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

迄今為止，人們通過GIMPS項目找到了15個梅森素數，其發現者來自美國、英國、法國、德國、挪威和加拿大。目前，全球已有190多個國家和地區近64萬人參加了這一國際合作項目，并動用了超過124萬臺計算機聯網來尋找新的梅森素數。

同人不同命

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校數學系計算中心的雇員史密斯，通過GIMPS項目發現了第46個梅森素數——243112609-1。他是私自利用中心內的75臺計算機參加該項目的。按校規他本應受到處罰，但由于為學校爭了光，他反被表彰。著名的美國《時代》周刊曾將第46個梅森素數評為“2008年度50項最佳發明”之一。此外，史密斯還獲得了EFF頒發的10萬美元大獎及金牌一枚。

另一位仁兄就沒有這樣的運氣了。美國一家電話公司的雇員福雷斯特偷偷使用公司內的2585臺計算機參加GIMPS項目。隨后公司發現計算機經常會出些差錯，本來只需要5秒鐘就可以接通的電話號碼，實際卻需要5分鐘才能接通。聯邦調查局最終查到了原因，福雷斯特承認“被GIMPS項目引誘”。他最后被解雇，還被罰款一萬美元。

功夫不負有心人

美國密蘇里中央大學數學教授庫珀從2002年起就參加了GIMPS項目，他與本校化學教授布恩合作，于2005年和2006年先后找到兩個梅森素數——230402457-1和232582657-1。他們的研究成果不僅推進了梅森素數的探究，也提升了學校的知名度。后來，布恩因精力和時間問題退出這項研究，庫珀只好一個人繼續探究了。在校方的支持下，他動用了全校實驗室里的800多臺計算機，于2013年1月25日找到了第48個梅森素數——257885161-1。美國數學學會發言人布林說：“這個超大素數令數學家和計算機科學家感到興奮。”他指出，這是素數探究的一項重大突破。

布恩再接再厲、趁熱打鐵，于2016年1月7日又找到了一個更大的素數——274207281-1；該素數是第49個梅森素數，也是目前人類已知的最大素數，它長達22338618位。如果用普通字號將它打印下來，其長度可超過90公里！美國《赫芬頓郵報》認為，這是一項重大的科技成就。

發現芯片有漏洞

2015年第四季度上市的Intel Skylake是美國英特爾公司的第六代核心處理器，這個全新一代的處理器與第五代Broadwell處理器一樣使用14納米工藝，號稱不僅提升了CPU性能，尤其是3D游戲性能，還特別注重節能性。但2016年初德國一名GIMPS項目參與者發現：當Intel Skylake處理器在執行Prime95應用來尋找梅森素數時，運算到指數P=14942209時就出現了觸發系統死機的漏洞。

Prime95是一款運行于微軟視窗中的開源軟件，由創立GIMPS項目的沃特曼編寫，這款軟件可以用來測試系統的穩定性。在所有的拷機軟件中，Prime95是公認的最殘酷的一款。它把負荷高得有點離譜的工作量加載在中央處理器身上，以此來考驗中央處理器的承受能力。這種測試因其可以發現其他測試程序無法發現的穩定性問題而備受關注，更被計算機制造商用來確定計算機的穩定性。由此可見，梅森素數的尋找還可以發現計算機芯片是否存在問題。