積分上限函數的求導及應用

摘 要：本文介紹了積分上限函數的概念、性質，求導數的方法。

關鍵詞：積分上限函數;連續函數;可導

課堂教學是教學各個環節中最重要的一環，它是給學生傳授知識的重要手段之一。課堂教學的目的，不僅在于給學生講清書本上的內容，更重要的是培養學生分析問題、解決問題的能力。因此，我們必須在深刻理解、鉆研教材的基礎上，全局考慮，根據認識規律去組織教材，提出問題，逐步分析和解決問題，從而培養提高學生的思維能力。下面就自己在積分上限函數教學中的一點體會作一介紹。

積分上限函數的概念、性質，不僅是微積分學基本理論（Newten—Leibniz公式）的證明工具，也是學習概率數理統計的基礎。然而，學生對這一部分內容卻感到十分棘手，難以理解和掌握。為了使這一較難的問題能輕松愉快地解決，在講授這部分內容時，首先自己講授書本內容，然后引導學生思考，從而將問題轉化，最后總結出易理解和掌握的結果。

積分上限的函數，我們主要講清其概念及性質。x∈[a，b]

定義：設函數f（x）在區間[a，b]上連續，對于任意的，f（x）在區間[a，x]上也連續。所以函數f（x）在[a，x]上也可積。定積分f（t）dt的值依賴上限x，因此它是定義在[a，b]上的x的函數，記

φ（x）=f（t）dt， ?x∈[a，b]

則φ（x）=f（t）dt稱為積分上限的函數。

由上述定義知x∈[a，b]，且對于任意一個x，都有一個確定的

f（t）dt與之對應，故f（t）dt是上限的一個函數，記作φ（x），即

φ（x）=f（t）dt ? ?x∈[a，b]

對于函數φ（x），學生們往往弄不清t的變化范圍，課堂上借助幾何圖形（圖1）說明并標明變量x、t的取值范圍（圖2），這樣就較易了解掌握了。

圖1

圖2

函數φ（x）具有下列重要性質：

定理1：設函數f（x）在區間[a，b]上連續，則積分上限的函數

φ（x）=f（t）dt

在區間[a，b]上可導，并且它對上限的導數就等于被積函數在上限處的值，即

φ′（x）=f（t）dt=f（x）

或dφ（x）=f（x）dx

為給出此定理的證明，首先應引導學生將問題轉化，即=f（x），實際上原問題有兩部分，一是“存在性”;二是“導數值”。同時應當復習“導數定義”，“積分中值定理”等，做完這些準備工作之后再給予證明。

證明：易知φ（x+Δx）=f（t）dt于是根據導數的定義

φ′（x）=

而：=[f（t）dt-f（t）dt]

=f（t）dt

由積分中值定理知道，在x與x+Δx之間必存在一點，使

f（t）dt=f（ξ）Δx

于是 =f（ξ）

對上式兩端取極限Δx→0，于是x+Δx→x，由于ξ在x與x+Δx之間所以這時必定ξ→x，再由f（x）是連續的，從而有

=f（ξ）=f（ξ）=f（x）

由導數的定義便有φ′（x）=f（t）dt=f（x）

這一定理建立了導數與積分之間的聯系。同時也告訴我們“任何連續函數都有原函數”。

定理的證明過程學生是容易理解的。然而在定理的應用上，學生卻感到困難。如學生對dt能求出dt=，而對x>0時φ（x）=dt就不是那么容易求出

φ′（x）來。課堂上，引導學生認真研讀定理1的條件與結論，特別注意理解“對上限的導數就等于被積函數在上限處的值”。于是學生受到啟發把φ′（x）dt中的dx換成d，要使等式成立，則必須乘以，于是由定理1得

φ′（x）=·dt= ?（x>0）

積分上限的函數的求導能求出了，那么如果函數出現在下限時應該如何處理呢？運用定積分的性質交換定積分的上下限時，定積分的絕對值不變而符號相反，即φ（x）=f（t）dt=-f（t）dt，然后再運用定理即可求出導數。

通過上面的求解，繼續提問學生：“能否將定理1的結論更一般化地推廣？”經過啟發和引導，學生回答說“能”，這時抽問學生，說出他們各自的推廣想法，最后總結得：

定理2：設f（x）在區間[a，b]上連續，函數u（x），v（x）是區間[a，b]上的可導函數;則φ（x）=f（t）dt在區間[a，b]上可導，并且

φ′（x）=f（x）dx=f（t）dt-f（t）dt

=u′（x）f（t）dt-v′（x）f（t）dt

=u′（x）·f [u（x）]-v′（x）f [v（x）]

可以看出定理1是定理2的u（x）=x、v（x）=a的特殊情形，了解掌握了定理2，對于較復雜的積分上限的函數的求導問題就能非常方便地解決。下面舉幾個應用定理的例子：

例1 求cos（π·t2）dt

解：由定理2有

cos（π·t2）dt=cos（πcos2x）（cosx）′-cos（πsin2x）（sinx）′

=-sinx·cos[π（1-sin2x）]-cosx·cos（πsin2x）

=sinx·cos（πsin2x）-cosx·cos（πsin2x）

=（sinx-cosx）·cos（πsin2x）

例2 在區域x>0求函數y=dt的極值點

解：由定理2知y′=·2x=2sinx

設y′=0?x=nπ ? （n=1，2…）

故所求極值點為xi=iπ ?（i=1，2，3…）。

例3 求極限

解：易知這是一個“”型的未定型，我們利用洛必達法則來計算，分子可寫成-e-t2dt。

它是以cosx為上限的積分，作為x的函數可看成是以u=cosx為中間變量的復合函數，故由公式有

e-t2dt=-e-t2dt=-e-t2dt|u=cosx·（cosx）′

=-e-cos2x·（-sinx）

=sinx·e-cos2x

因此==

布置三個作業題練習一下，掌握解題方法：

1.φ（x）=e2tsintdt。

2.φ（x）=tedt。

3.φ（x）=（1-t2）dt。

4.求極限。

參考文獻：

[1]顧靜相主編.經濟數學基礎[M].高等教育出版社.

[2]同濟大學數學系編.高等數學[M].高等教育出版社.

作者簡介：

賀建平（1964-），女，副教授，研究方向：數學教育。