初中生的幾何證明能力如何培養

史偉城

已知：如圖，AB//CD，MG、HN分別為?EGA、?EHC的平分線。

求證：GM//HN

證明：QAB//CD

＼?EGA =?EHC

又QMG、HN分別為?EGA、?EHC的平分線

＼?MGA =? NHC

＼GM//HN（同位角相等兩直線平行）

這是一個學生的作業，他的證明是錯誤的。

錯因：上述證法把?MGA、? NHC當成GM、NH被EF所截得的同位角而得出結論，顯然是犯了偷換概念的錯誤。

類似的問題在教師的平時的作業和試卷中經常出現，老師把出現的錯誤糾正了以后還會在其他地方重復出現，使很多老師感到頭痛。但深究其產生錯誤的原因可以知道，很多學生對幾何證明的學習已經產生了厭惡感。在學生剛開始學習幾何證明時就沒有掌握好學習方法，使他們學得很混亂，甚至對證明過程為什么要這樣做都不知道，產生不了學習興趣，讓學生覺得幾何是一門很難學、很深奧的學科。

因此，在初中生剛剛開始接觸正規的幾何證明時，老師就要做好學生的引路人。引路人對學生的作用非常大，如果老師引導得好，他們就能較快掌握幾何證明的方法，否則，他們會學得一塌糊涂。

結合平時的教學，本人認為培養學生的幾何證明能力可以從以下幾個方面來做：

一、教師向學生講解清楚定理、定義，并要求學生牢固掌握定理、定義

幾何的定理、定義是證明的基礎，是一切證明的依據，因此，數學課的定理、定義的教學都要作為重點內容。在定理、定義教學時，教師應讓學生清楚地知道定理、定義成立的前提條件是什么，能得到什么樣的結論，只有清楚了這些，學生在以后的具體應用中才能準確地運用所學的定理、定義解決問題。同時，教師要及時拿出相應的習題給學生做，讓學生在做的過程中理解定理、定義，從中掌握所學的定理、定義。學生通過理解記憶掌握的定理、定義往往比較牢固，不容易遺忘。

例如在同位角定義的講解時，首先講清楚同位角的定義：在兩條被截線的同旁，在截線的同側的兩個角稱同位角。

同位角的特征識別：①在截線的同旁；②在被截兩直線的同方向；③同位角通常是成對出現的。

在學生知道同位角的定義和特征時，老師就要及時拿出練習題給學生鞏固。

練習：

（1）如圖，有多少對同位角？

（2）判斷：同一平面內，兩直線被第三條直線截斷所得的同位角相等。

如果學生在學習同位角時透徹理解了同位角的定義，并會熟練判斷同位角，那么學生就不會出開始的證明錯誤。

二、教師要學生理解證明的含義，讓學生從簡單的證明著手，培養學生的學習興趣

初中生剛開始接觸幾何證明，如何證明一個問題學生還很陌生。因此，教師首先向學生講解證明的含義：在數學上，證明是在一個特定的公理系統中，根據一定的規則或標準，由公理和定理推導出某些命題的過程。這個過程是一個嚴謹的說理過程，每一個步驟都要做到有理有據。其次讓學生先接觸一些簡單的證明。因為學生剛開始學習證明，只有讓學生先做一些簡單的證明，使學生在證明過程中體會一下成功的喜悅和證明的作用，培養學生學習幾何證明的興趣。如果剛開始學習幾何證明就讓學生證明很復雜的題目，那么很多學生會感到幾何證明是一件很困難的事情，容易產生不想學習想法，這樣對學生以后的幾何證明的學習有很大的幅面影響。

三、教師應該向學生傳授一些尋找證明思路的方法，使學生能較快地學會證明

所謂“授之以魚不如授之以漁”，教師不可能將每一條題目的證明過程都講解清楚給學生，只有學生自己掌握了方法，才能在解決眾多證明題目中游刃有余。因此，向學生講解尋找證明思路的方法很有必要。

證明過程中比較有效的方法是分析綜合法：分析綜合法是把分析法何綜合法結合起來去論證命題的思維方法。它是從一個命題的兩頭向中間“擠”，因此容易發現證題的突破口，收到事半功倍的效果，適用于較難的證明題。

例如：如圖，已知AB是圓O的直徑，BC為圓O的切線，切點為B，OC平行于弦AD。

求證：DC是⊙O的切線。

從結論出發：

要證DC是⊙O的切線需證DC垂直于⊙O的半徑。（連接OD）

即證DC⊥OD

需證：

∠ODC=∠OBC

（BC為圓O的切線，可得∠OBC為直角）

需證⊿CDO≌⊿CBO

具備的條件OD=OB，OC=OC

仍然缺少一個條件。

從條件出發

由OC∥AD可推出∠DAO=∠COB，∠ODA=∠DOC

再由OD=OA可推出∠ODA=∠DAO

從而可推出∠DOC=∠COB

這個結論正是上面所缺少的那個條件，從而證明的整個思路就暢通了，按照分析的思路把證明過程寫出來就不會出錯了。

四、教師讓學生現場演示自己的證明過程

通過前面幾個步驟，學生基本上會證明一些簡單的題目，但在證明過程中總會有這種或那種的錯誤，甚至有些錯誤使老師百思不得其解。為了及時了解學生的情況，可以讓學生現場演示自己的證明過程，老師可以根據學生的證明過程與學生進行互動，幫學生分析問題的所在，然后對學生及時給予糾正。這樣做還可以加深學生本人的印象，防止再犯類似的錯誤，同時還能給其他同學起到警示的作用，提醒其他學生也不要重犯類似的錯誤。

例如：如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，且AE=AD，DF⊥AE于F。

求證：EC=EF

學生的證明如下：

證明：連接DE

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB=DC，AD∥BC，AD=BC

∠ABC=∠DCB=∠ADC=∠BAC

∴∠DAE=∠BEA

∵DF⊥AE，AE =AD

∴∠ABE=∠DFA

∴△ABE≌△AFD

∴AB=DF=DC

∴∠DFE=∠DCE

分析一下學生的證明過程具體有如下的錯誤或不足：

證明：連接DE

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB=DC，AD∥BC，AD=BC………①

∠ABC=∠DCB=∠ADC=∠BAC…………②

∴∠DAE=∠BEA

∵DF⊥AE，AE =AD………③

∴∠ABE=∠DFA

∴⊿ABE≌⊿AFD

∴AB=DF=DC………④

∴∠DFE=∠DCE………⑤

首先①、②是多余的結論，在以后的證明中不會使用到。其次③是條件出現的位置不對，應該把它放在后面證明數據線全等時用的。第三是④由三角形全等得不出這個結論。第四是⑤這個結論不知從哪得到的，而且最后結論也沒有證出來。通過跟學生分析錯誤所在，學生記憶會很深刻，在以后的證明就會注意這些問題。

培養初中生的幾何證明能力是一個系統的工作，需要教師對幾何證明方面的知識有全面的理解，然后結合學生的實際制定一培養的目標和計劃，才能有目的的培養；結合學生的智力水平選擇合適學生的方法，才能使學生“樂學”、“善學”幾何證明。只有學生自己“樂學”、“善學”，他們的幾何證明能力自然會得到提升。