數學思想和方法在初中教學中的有效滲透探究

王凱

數學教學中的數學思想是指就數學知識及數學方法在本質上的認識，是數學規律所進行的理性概括及認知；數學方法是實現數學問題解決的根本思路及程序，它是數學思想的具體深化反映。數學思想作為數學靈魂、數學方法作為數學行為，在初中數學教學中的有效滲透關系學生邏輯思維能力及數學素養的提高。

一、初中數學中的數學思想和數學方法分析

數學思想具體是指數學知識及數學方法等概括性內容的本質認識，它將對數學規律的認識提升至理性的階段；數學方法是針對某類具體數學問題實現其解決所依循的解題程序及步驟等，它是運用數學思想實現數學問題解決的具體表現形式。就數學思想和數學方法所具有的抽象性或具體性的特點而言，數學思想可稱之為數學靈魂，而數學方法則是數學行為；在運用某種數學方法實現數學問題的解決的過程中，同時實現著就某類數學問題感性認識的不斷積累，當積累量達到某種程度后會引發質的飛躍，數學方法便可升華至數學思想。

初中數學教學中較為基本的數學思想有用字母表示數、數形結合、函數思想、方程思想、分類討論思想、化歸思想、數學模型思想、分解組合思想、圖形運動思想等；函數思想是利用函數兩個變量所具有的對應關系，實現函數知識及函數方法在某些問題解決中的運用；化歸思想是實現未知問題向已知問題轉化的基本策略，常見的化歸思想有化繁為簡、化高次為低次、化抽象為具體等。初中數學教學中較為基本的數學方法有待定系數法、配方法、換元法、判別式法等。配方法是利用配湊等手段獲取完全平方或完全立方等較為典型的數學形式，利用該典型數學形式的性質實現已知條件的增設及問題的求解。換元法是就原條件下的未知數、數字、代數式等采用新未知數代替，以化繁為簡實現問題的解決，該種數學方法是轉化思想的體現。

二、初中數學中的數學思想和數學方法滲透

1.以數學方法的滲透實現數學思想的了解

初中學生所具備的數學知識相較而言是較為缺乏的，且抽象的思維能力也相對薄弱，將數學方法及數學思想作為初中數學教學中的獨立課程并不具備相應的基礎，這就需要教師把數學知識當作數學方法及數學思想的載體，將相應的思想及方法滲透至數學知識相關的教學實踐中；注重數學思想及數學方法在數學知識教學中的有效時機，重視初中數學的相關概念、定理、公式及法則等的提出過程，數學知識的形成發展歷程，數學問題的解決及數學規律的概括過程。讓學生可以在數學相關理論知識的教學實踐中逐步發展獨立思維能力，進而培養起學生的創新精神和創新意識，最終實現新知識的獲取與發展、新知識的運用及轉化等能力，在教學實踐活動中傳統的灌輸式教學模式必將失去向學生滲透數學方法實現數學思想了解的關鍵時機。如在數軸教學環節中引入“數軸上表示的兩個數左邊的總大于右邊的；一切正數均大于零；一切負數均小于零；任何正數均大于所有負數”的理論，而將兩個負數大小的比較放在絕對值教學之后，教學活動中滲透數形結合的數學思想，便于學生對相關數學定理、定論等的理解與運用。又比如，蘇科版七年級下學期“平方差公式”的推導，采用剪切正方形，截補為其他特殊圖形的面積的方法來推導公式，學生感興趣，容易理解，而且為今后的數形結合思想打下基礎。

2.以數學方法的訓練實現數學思想的理解

數學思想的相關內容較為豐富，而數學方法也存在難易之分，這就需要教師在初中數學教學實踐中分層次的實現滲透式教學，例如：利用待定系數法實現拋物線相關問題的求解中，教師就該類問題的數學方法所采用的分層次的歸納與演繹，可幫助學生培養起較好的數學思維習慣，實現同類問題的觸類旁通、舉一反三式的解決，即便最終的解題答案出現錯誤，至少可保障學生解決該類問題的數學方法及思維邏輯的正確性。以數學方法的訓練實現數學思想的理解，要求教師依循數學思維形成的循序漸進的原則，有步驟有重點地開展初中數學教學工作，全面深入地了解初中三個年級中數學教材的編寫體系、能力層次、知識體系及重點難點等，進行教學大綱及教材的深入研究，進行數學思想和數學方法的深入挖掘分析，從思想方法的角度進行數學知識的深入分析、總結概括及系統歸納，引導學生進行數學知識的系統認知及梳理。以蘇科版七年級下“8.1同底數冪的乘法”教學片段為例：

（1）情境創設（從盛澤談起，引出問題）。新民織布廠每小時織布7.5×103米，那么2×105小時織布多少米？（2）知識回顧。①乘方的定義。②學生完成下列問題。25表示的意義；3個10相乘可以表示為 ；（-5）4表示 ；-36表示 。

（3）探究新知。a.情境創設問題所得到的式子有什么特點？強調同底數冪，并引導學生解決103×105。b.學生嘗試解決：23×22= ；a4﹒a3= ；5m×5n= ；觀察上面各題左右兩邊底數、指數有什么關系？c.猜想：（當m、n為正整數時）am﹒an= 。學生分組討論，并用語言歸納。

在這個教學過程中，創設學生熟悉的數學情境：生活化的問題情境讓學生樂于解決實際問題，并容易發現超越自己能力范圍內的問題。問題的創設符合學生的認知水平：在這個教學情境中，學生已經具備“乘方”的概念，通過具體問題學生發現面臨解決的問題是“同底數冪乘法如何進行？”從特殊到一般的適應過程：通過強化“乘方概念”的復習，學生用“乘方概念”解決了一些特殊“同底數冪”的乘法后，對一般化的情況有了解決思路，學生發現“同底數冪乘法法則”也就水到渠成了。

3.以數學方法的提煉實現數學思想的完善

初中數學教師在教學實踐中要適當地進行數學方法的提煉及概括，使學生對數學方法有較為明確的認知。但數學思想及數學方法多分散于不同部分，就同一問題也常常通過不同的數學方法及數學思想實現解決，這就要求教師要充分認識數學思想及數學方法概括凝練分析的重要性。例如：分類討論的數學思想，是在需要解決的問題不可采用同種方法進行解決敘述時，將問題按照某種原則標準等進行分類，以逐類討論分析實現數學問題的各個擊破、分而治之，教師概括凝練出的分類討論數學思想的使用方法及步驟普遍為同類標準的確定、全體對象的恰當分類、逐類逐級的討論、綜合概括及歸納總結。初中數學教師還需要有重點地培養學生就數學思想及數學方法的自我提煉及自我揣摩概括的能力，將數學思想及數學方法落實到初中數學教學的實處。比如，蘇科版九年級“圓中的相似問題”是初中數學教學中的難點，教師可以先引導學生復習三角形相似的三種基本題型，在這三種題型中再加上以圓為背景，學生就能很好地實現問題的遷移和數學方法與數學思想的完善。

4.以數學方法的掌握實現數學思想的運用

在初中數學教學實踐中，要想實現學生數學素質的全面提升、創新思維及創新能力的形成、科學有效的數學學習方法的掌握等，就需要教師重點落實數學思想和數學方法相關的教學環節及教學內容。任何知識的學習均需經歷聽課、習題鞏固、系統復習等教學環節，數學課程的教學依然遵循該教學流程；學生得以形成自覺地運用數學方法進行數學問題的解決的良好習慣，要以學生數學思想和數學方法體系的自我組建為基礎；加之數學思想和數學方法的形成也遵循循序漸進的過程，這就需要教師要重視課堂鞏固及系統復習環節，以教學方法的運用掌握來體現數學思想的真正領悟。教師在進行知識點講解及概念提出時，可采用數學方法中的類比由舊知識延伸類比出新的知識，促進學生對新知識、新概念的理解與掌握。例如：有理數的乘法法則可以類比有理數的加法法則；相似三角形可以類比全等三角形；一元一次不等式的解法可以類比一元一次方程的解法……可讓學生深入地理解及掌握類比這種數學方法，實現同類問題觸類旁通的解決。

在初中數學課程教學中，數學思想與數學方法是相輔相成、難以分割的兩部分，需要教師在教學活動中以概括提煉等進行教學滲透，更需要學生就思想及方法的自我揣摩與應用進行重復鍛煉，最終實現各類數學問題解決過程中的融會貫通，以及學生的邏輯思維、數學素養的培養提升。

（作者單位：江蘇省蘇州市吳江區銅羅中學）