正態分布考點例析

陳靜　鄢文俊

正態分布可以理解成一種“常態”分布. 在日常生活、生產與科學實驗中，一些隨機變量的取值情況“不約而同”地呈現著某種相似規律——其取值的概率分布都近似地可以用正態分布來描述. 比如，某個地區的年降水量、某地當年西瓜產量、理想氣體分子的速度分量等等，它們服從或近似服從這種分布規律. 對正態分布的考查多以中低檔題目為主，一方面是考查正態分布的基本概念、性質和計算，另一方面，如何將它們與實際生活進行結合是近幾年高考命題的熱點.

正態分布的基本概念與性質

例1 已知三個正態分布密度函數[φix=][12πσie-x-μi22σi2][（x∈R，i=1，2，3）]的圖象如圖所示，則（ ）

A. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3]

B. [μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]

C. [μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3]

D. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]

解析 由正態曲線關于直線[x=μ]對稱知，[μ1<μ2=μ3.] [σ]的大小決定曲線的形狀，[σ]越大，總體分布越分散，曲線越矮胖；[σ]越小，總體分布越集中，曲線越瘦高，則[σ1=σ2<σ3.] 也可由[φ1（μ1）=φ2μ2>φ3μ3]得，[12πσ1=12πσ2>12πσ3]，即[σ1=σ2<σ3].

答案 D

變式1 設兩個正態分布[X?Nμ1，σ12，][Y?Nμ2，σ22，]其密度函數分別為[φ1x]和[φ2x]，圖象如圖所示，則有（ ）

A. [PY≥μ2≥PY≥μ1]

B. [PX≤σ2≤PX≤σ1]

C. 對任意正數[t，][PX≤t≥PY≤t]

D. 對任意正數[t，][PX≥t≥PY≥t]

答案 C

點撥 此類題主要考查正態分布的概念和性質，故要理解概念，掌握性質，特別是參數[μ，σ]的實際意義和幾何意義是考查的熱點.

服從正態分布的基本計算問題

例2 設隨機變量[ξ]服從標準正態分布[N0，1]，已知[Pξ<-1.96=0.025]，則[Pξ<1.96=]（ ）

A. 0.025 B. 0.050

C. 0.950 D. 0.975

解析 法一：∵[ξ]～[N0，1]，

[∴Pξ<1.96=P-1.96<ξ<1.96]

[=Pξ<1.96-Pξ<-1.96]

[=1-2Pξ<-1.96=0.950.]

法二：因為曲線的對稱軸是直線[x=0]，所以由對稱性知，

[Pξ>1.96=][Pξ≤-1.96=][Pξ<-1.96=0.025.]

∴[Pξ<1.96=]1-0.25-0.25=0.950.

答案 C

變式2 某地區某年參加高考的人數約為6萬人，數學滿分為150分，學生的數學成績服從正態分布[N90，σ2]，超過120分的人數約占總人數的[120]，據此估計數學成績在60分到90分之間的人數約為（ ）

A. 0.3萬人 B. 2.7萬人

C. 3.3萬人 D. 5.7萬人

答案 B

點撥 能熟練應用以下正態曲線的性質解題，并注意數形結合和轉化化歸思想的運用. （1）正態曲線與[x]軸之間的面積為1；（2）正態曲線關于直線[x=μ]對稱，從而在關于[x=μ]對稱的區間上概率相等；（3）[PX正態分布的實際應用

例3 在某次數學考試中，考生的成績[ξ]服從一個正態分布，即[ξ?N（90，100）.]

（1）試求考試成績[ξ]位于區間（70，110）上的概率是多少？

（2）若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在（80，100）間的考生大約有多少人？（參考數據：若[ξ～N（μ，σ2）]，有[Pμ-σ