概率與統計易錯剖析

牟行洋　葉貞蓉　李家琦

對抽樣方法含義理解不清致誤

例1 學校附近一家小超市為了解一年的客流量情況，決定用系統抽樣從一年中抽出52天作為樣本實施調查（即從每周抽取1天，一年恰好有52個星期），你覺得這樣的選擇合適嗎？為什么？

錯解1 合適，因為一年的天數較多，采取系統抽樣減少了抽取天數.

錯解2 合適，每個星期抽取一天，等距抽樣，適用于總體中個體數較多.

錯解3 合適，分層抽樣更平均.

錯解4 合適，系統抽樣是隨機的，具有一定代表性.

錯解5 不合適，樣本容量小.

分析 這家超市位于學校附近，其顧客很多為學生，客流量受到學生作息時間的影響. 如周末時，客流量會明顯減少，如果用系統抽樣來抽取樣本，起始點抽到星期天的話，樣本代表的客流量會明顯偏低. 另外，寒暑假也會直接影響超市的客流量.

正解 不合適. 利用簡單隨機抽樣和分層抽樣，可以把一周分為7天，一年分為52層，每層用簡單隨機抽樣的方法，抽取適當的樣本進行調查.

點撥 概率和統計在生活中已經得到了廣泛的應用，為方方面面帶來了便利. 我們學習數學的最終目的也是要應用在我們的生活中，在處理這種實際應用題時，要結合自己的生活經驗多思考.

混淆互斥事件與相互獨立事件致誤

例2 一個通訊小組有[A，B]兩套通訊設備，只要有一套設備正常工作，就能進行通訊. [A，B]設備各由2個、3個部件組成，只要其中有1個部件出現故障，這套設備就不能正常工作. 如果在某個時間內每個部件都不出現故障的概率都為[P]，試計算在這段時間內能進行通訊的概率.

錯解 [A，B]兩套通訊設備在某個時間內能正常工作的概率分別為[P（A）=P2，P（B）=P3，]則在這段時間內能進行通訊的概率為[P（A+B）=P（A）+P（B）=P2+P3].

分析 上面所用的公式是兩個互斥事件有一個發生的概率，而題中[A，B]兩套通訊設備能正常工作這兩個事件是相互獨立的. 互斥與獨立是兩種不同的關系，一般沒有必然聯系，不能混淆，把互斥結果套用在獨立事件中是錯誤的.

正解 方法一：采用逆向思維來求解. [A，B]至少有一個正常工作的對立事件是[A，B]都不能正常工作. [A]不能正常工作的概率為[1-P2]，[B]不能正常工作的概率為[1-P3]，故所求概率為

[1-（1-P2）（1-P3）=P2+P3-P5].

方法二：采用正向思維來求解. [A，B]兩套通訊設備在這段時間內能進行通訊這一事件包括：[A]正常，[B]不正常；[A]不正常，[B]正常；[A，B]都正常. 且這三個事件彼此互斥，故所求概率為

[P2（1-P3）+P3（1-P2）+P2?P3=P2+P3-P5.]

點撥 互斥事件與相互獨立事件的判斷，只需要抓住它們的定義就可以進行區分. 互斥事件發生在一次試驗中可能出現的不同結果，這兩個事件不可能同時發生；而相互獨立事件發生在互不干涉的不同試驗中，一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率不產生任何影響. 它們雖然都描繪了兩個事件間的關系，但所描繪的關系是根本不同的.

概念認識模糊考慮問題不周致誤

例3 如圖所示，若用五種不同的顏色給一個四棱錐[S-ABCD]的每一個頂點涂上一種顏色，則使同一條棱上的兩個頂點不同色的概率是多少？

分析 第一種錯解中，把四棱錐誤看成四面體，就從5種顏色中任取了四種顏色并將四種顏色全排了.第二種錯解中，簡單地使用了加法原則，分成了三類，使用五種顏色、四種顏色和三種顏色，但考慮不周全，四種顏色還要分類. 第三種錯解中，沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式，底面的四個頂點涂色需要分類. 第四種錯解中，在使用四種顏色和三種顏色分類后分步，但分析有誤，不嚴密，出現了錯誤. 第五種錯解中，理解題意有誤，以為五種顏色均要用完. 第六種錯解中，使用了分組，忽略了平均分組導致分類討論中情況重復出現.

正解 對滿足本題的涂色方案有兩種方法.

方法一：當[A，C]顏色相同時，涂法有[C15C14C13C13][=180]種；當[A，C]顏色不相同時，涂法有[C15C14C13C12C12=240]種，共有涂法180+240=420種.

方法二：分類使用5種顏色的涂法有[A55]種，使用4種顏色的涂法有[2A45]種，使用3種顏色的涂法有[A35]種，共有涂法[A55]+[2A45]+[A35]=420種.

這兩種思路求得滿足題設的涂法結果是一樣的，則本題所求的概率應該是[P=42055=84625].

點撥 概率的計算中往往摻雜著排列組合問題，而排列組合問題的類型繁多，計算也很靈活，大家都直觀地認為“分步用乘法、分類用加法，有序排列，無序就是組合”. 但在解題的過程中同學們往往對概念理解不清楚、考慮問題不周全、忽略有關條件等原因導致在排列組合問題上的計算漏與重，使得最后計算的概率出錯.

忽視基本事件的等可能性致誤

例4 已知直角三角形的兩直角邊都是區間（0，1）上的隨機數，試求斜邊長小于[23]的概率.

錯解 設直角三角形的兩直角邊分別為[x，y][（x，y∈（0，1））]，由題意可知，[0[（1）][（2）]

分析 將基本事件由點[（x，y）]轉化為[（x2，y2）]后，落入正方形區域內不是均勻的（不是等可能的）. 若用計算機有關軟件來設計程序，畫出散點圖，可直觀顯示點[（x2，y2）]是非均勻分布的.

正解 設直角三角形的兩直角邊分別為[x，y] [（x，y∈（0，1）），]由題意可知，[0